例谈“放缩法”证明不等式的基本策略（精）

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1、例谈“放缩法”证明不等式的基本策略近年來在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，髙考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点，有极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有1=1标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的

2、基本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例仁已知％=2“_lgN）求证：巴—丄＜去+玉+...+上23勺偽。”+1〉以(丄+丄-23222+・・•+丄)=上一丄(1-—)>--2"23T2证明：•・・5=代+1_2A-1_11_11、111一2知】_1一22(2a+,-1)~23.2*+2*-2一232k'一'，—無电*鱼++仏23a2a3alt+l2若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一•些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需耍，有时需耍舍去或添加一些项，使不等式一边放

3、大或缩小,利川不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2*-2,从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f(x)=■——l+4x求证：/(1)4/(2)+••••»/(/?)>n+2〃+1-(77G/V*).2证明：由心）二上二=1-—^〉1一一—1+4”1+4"2・2"得f(1)寸(2)+・・・4/S)>1一一+1一一+•••4-1一一—2-212-222・2"=n-丄(1+丄+丄+--(nwN、4242n_2"+2此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数

4、，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取」E值的分式。如需放大，则只耍把分子放大或分母缩小即可；如盂缩小，则只要把分了缩小或分母放人即可。3.先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n,求证:nk=Clk<3.1“><1+s]_P伙一1)心+1)V1+百7伙一1)伙+1)(+[k^)n1+工k=2血-1）伙+i）n=1+£k=211"以一1)寸伙+1))=1+1+——<2+—<3.2y/npS+l)2本题先采用减小分母的

5、两次放缩，再裂项，最后乂放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；1"1例4、已知数列匕｝满足a”+]=d；,0VC”,求证：为(色一％】)代+2<—•2k=32证明*.*0

6、lo32本题通过対因式色+2放大，而得到一个容易求和的式子£（色-色+J，最终得出证明.Jt=l5、逐项放大或缩小例5、设心=71立+血不+7^+.・・

7、+J讪+1）求证:5证明：t』n（n+1）〉Qn(n+l)<2n+12n+11+2+3—+n

8、倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知©=5—4,证明：不等式应；-应石>1对任何正整数""都成立.证明：耍证网打-ylaman>1,只要证5anm>14-aman+2^atnan.因为amn=-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn一20(加+n)+16,故只要证5(5mn-4)〉1+25mn-20(/n+“)+16+2yjaman,即只耍证20/77+20/?-37>2ja/”.因为2y]aman

9、得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2血肓<勺”+①放人即可.8、先适当组合，排序，再逐项比较或放缩例&.已知i,tn、”是正整数，且