数列不等式证明策略

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1、数列不等式证明策略数列与不等式都是数学高考屮的重点内容，将两者结合起来的问题，我们称之为数列不等式问题.数列不等式问题，是近年来髙考命题新宠.解决该类问题，有吋既要用到不等式的思路与方法，乂要结合数列本身的结构与性质.策略一数学归纳法数学归纳法是一种重要的数学证明方法和思想方法，有广泛的应用.用数学归纳法证明一个与正整数/I有关的命题的步骤是：（1）证明当n取第一个值®（例如％=1或2等）时结论正确；（2）假设当xk（kwM,时结论正确，证明当n=k+l时结论也正确.完成了（1）和（2）,就可以断定命题对于从如开始的所有正整数77都正确.证明不等式l+-L+_L+.

2、..+_L<2V^(/?e/V-)证一用数学归纳法:（1）当〃=1吋，1<2,不等式成立.（2）假设当n=k时不等式成立,即1+A+A+…+厶/())fv2(

3、V^—V?),~j=~<2(^3—/2),…，<2(Vz?—yjn—.把以上各式两边相加，即得1+17T<2y/n•例2已知函数f(x)=ax--x2的最大值不大于丄，又当xg［-1］时，16428(I)求a的值；(II)设0<。］<丄，atl+l=f(an),nwN",证明an<・2n+1（1）解法：由于f（x）=ax--x2的蝕大值不大于丄，所以/（-）=—0,xe(0,—),所以0

4、时不等式也成立.1~63(ii)假设n=k伙$2)时，不等式0

5、+1时,ak+]=ak(1--^)=——-(k+2)ak・(1一护)2k+223因(k+2)兔>0,1—兔>0,311+伙+2-—)ak1+伙+—)ak2]2=[2_『<1.?2“3所以伙+2)a*•(1—兔)W［于是°<兔+1V丄k十2因此当ni+l时，不等式也成立.根据(i)(ii)可知,对任何nwN=证法三：⑴当心时，0<.<1,(ii)假设n=R(Ml)时,0

6、,贝'J0©23-再；（2）设仇=陥-色⑺=1,2,3,…），求数列｛"｝中的项的最大值.nna（1）证法一：由色+产（1+歹）色知色+]-色二亍,（归,2,3…）①当/?=10寸，由（1）有：-a,=—=丄>0,不等式成立.-22LJ-1②假设

7、n=kgN时不等式成立•即a如〉％23-»也三（1+=3+k-2kk+12&2&2^一1•••kwN*时，2k=(1+1/=l+C：+・・・+l$k+lI"4-0774-1线+。3_于,即归+1时不等式成立.由①②可知陽+]>〜$3-券5=1,2,3…）证法一：由a”*]=(1+—)^,得•Q”+i-％=-V)易知°“+1>%$1，•:%一陽$y(〃T,2,3,…)m+>zi_t、123n—1累加伺•：Q“一坷2㊁+尹+卫+•••+□〒用错位相减法可求得丄+3+2+・・・U=2-"+122223n-2打—12"—

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