数列求和不等式的证明策略

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1、数列求和不等式的证明策略一.直接放缩型例1.求证：—<—!—+2n+1n+2证明：・・•丄5丄5丄2nn+kn+11111•••——+——+•••+——<+—+v1(川n2)・2n(k二2・・・〃)2/7即丄V2例2.1+——<2n2n2nn+1n+2111fl++…+——<<兀+1n+22nn+1ci=11—,tz2.•"YVnaa.=11W1——H—+…+n2a3ana2232n21，2Z3丄+丄+・・・+丄,n+1n+1n+1an<2・又，=k・k>k(k—)221111——v=,k2R伙一1)k-kqsB八111(八1、」1、z11、c1丁足色<｝

2、+—+—+•-+—<1+(1—三)+(：-；)+•••+()一2<2.2~3「223n-lnn二.可放缩成等差数列型仮!11.求证:Z?(/?+1)1+2+—n="又顾帀v圧丄沁22・•・++•••+』讪+1)v*(3+5+.・・+2〃+l)二〃；2〃v(xl),・・.得证。三・可放缩成等比数列型例1・数列｛an｝满足an+i=an2-nan+l(neN+),且a“nn+2求证：一!—+—!—+…+—!—<丄1+tZj1+禺1+an2证明：•••an

3、+i=an(an-n)+l>an(n+2-n)+l=2an+l/.an+i+l>2(an+l)r.an+l>2(an-i+l)即金52(/+1)522(°]+1)§…§2心(I+1)*(I⑷》9丄+丄+・・•+丄V丄+丄+••・+丄显一丄v丄1+e1+。21+d“22232n+i22M+12例2.已知f(x)=^-^,xg(0,+8),数列｛x」满足xn+i=f(xn)(neNJ,且x】二1,设an=

4、xn-V2I,x+S“为｛%｝前n项和，证明：Sn<—o2证明・・・时=

5、和-血l=

6、心-血1=彳+2-妊厂°

7、二(血_i)13匚迦兀”+1£+1丨兀”+11

8、又xn>0.・・乳

9、<(d—1)丨兀”一血I<(血一1)2丨xn_1-V2l<...<(V2-l)z,lx,-V2I=(V2-1)曲••・50=3)+32+•••+an<(V2-l)+(V2-l)2+•••+(©—1)"得证。四.可放缩成裂项差式型例1・求证：1+丄+厶+——<2(neN+)2232n2+证明：•・•—<—=—-—-(n>2)n_n(n-l)n-1n•・・1+W…+gvl+J+丄-丄+•••+2232n2223例2.求证:1+斜容+•••+咅＜3(n>2,neN)证明：••卫*n~n•Vnn4n+n4n(n-l)4n+njn-1Qn(n-1)(

10、J”-1+4n)_1)(』n-1yj~n),,1+4+4+...+4<1+2(1iii+...ii)=3i<3.23-nV2V2V3_1Vh4n五.两项配凑放缩型例1・已知・xf2+,求证：(-1)Xi+(-1)2x2+---+(-l)nxn

11、-1)2X2+•••+(-1)nXn4,有丄+丄+•••+3a4a5证明：由通项公式得a4=2,当nn3且n为奇数时，丄+-an〜+1―丄[亠+丄]丄x—27"22^2+1一122加7+2心-2?,"2乏=仝(丄+亠,222,,_322,,_22,,_12h-3当m>4且m为偶数时，—+—+•••+—=—4-(—+—)+•••+(^―4-—)勺a55a4a5a6am_xam乙+2(丄+厶+…+厶)J+冬丄M一亠)V丄

12、+J?,222’242心2242心288当m>4且m为奇数时，—+—+•••+—<—+—+•••+—+<―,勺a5a,na5a.n知+18综上对任意整数m>4有丄+丄+・・・+丄V?。a4a5am*评析：由于通项中涉及有(-1广这一符号法则，因此结合两项之和将其消去，再行放缩便能易于求和使问题得证。六.利用题设结论例1已知不等式丄+—+•••+丄>丄

13、log2n,neN>2.

14、log0n表不不超过log9n的最大整23刃2数。设正数数列｛©｝满足：a.=b（b>O）,an2.n+an-求证~<冷而山.简析当«>2时°§上亠=>丄

15、》仝沁=丄+丄，即n+an-%an-