数列型不等式的证明

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1、数列型不等式证明的常用方法一．放缩法数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧，例如归一技巧、抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧，仅供参考.1归一技巧归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或若干项全部转化为同一项，或是将和式的通项中的一部分转化为同一个式子（或数值），既达到放缩的目的，使新的和式容易求和.归一技巧有整体归一、分段归一。例如设是正整数，求证．【证明】.另外：.

2、【说明】在这个证明中，第一次我们把、、这些含的式子都“归一”为，此时式子同时变小，顺利把不易求和的变成了个的和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和，这就是“归一”所达到的效果。而不等式右边的证明也类似.1.1整体归一放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一”.例1.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①-

3、-②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，，解得=1∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.（放缩通项，整体归一）∴（放缩通项，裂项求和）例2.已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．（I）求，，，；（II）求数列的前项和；（Ⅲ）记，，求证：【分析】（1）略.；；时；．（II）略.．（III）本题应注意到以下三点，①，且具有周期性.，这就有，虽有周期性，可周期为.这就使当很大时，和式通项的符号增加了不确定性.②很显然，当时，，；当时，，.纵然没有符号的问题，通项如何求和？也需要解决.

4、③，，本题相当于证明．基于以上三点，我们可以看到：等价于从第二项开始的项之和为非负数，可否考虑将第三项开始的项缩小，此时可以做两方面的“归一”，一是符号“归一”，二是分母的部分“归一”，两者都是要达到容易求和的目的.【解答】当时，，从第三项起“归一”为负==(3,4,5,…,n“归一”为2)，至于不等式右边原理一样：(从第四项起“归一”为正(4,5,…,n“归一”为3)．又，，原结论成立1.2分段归一放缩法中，如果我们把和式分为若干段，每一段中的各个项都转化为同一项而达到放缩并容易求和的目的的，称之为“分段归一”.例3已知数列和满足

5、，，数列的前和为.（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意的有成立．分析：（1）略.．（2）此问可以用数学归纳法证明，也可以用“分段归一”的放缩法解答.【解答】左边证明这里我们以，，，，……，为界，将和式分为段，每段……（），每段中的数对缩小归一为，这就使每一段的数缩小后和为，从而得证.至于不等号右边，原理类似：【说明】本题我们需要关注到不等号两边的性质：一方面，，接着我们把不等式中间的和式除1外的部分拆分成段，每段都不小于；另一方面，，接着我们把不等式中间的和式除外的部分拆分成段，每段都不大于；在归一放缩时，我们需要注意到题设的

6、条件和式子的性质，它是我们考虑如何归一、往哪个地方归一的关键.1抓大放小在将和式通项中，我们保留式子主要的、数值较大的部分，去掉次要的、数值相对较小的部分，以便达到放缩和容易求和的目的，这种放缩技巧，我们称之为“抓大放小”技巧.例如求证:通项放缩为，求和即证。2.1直接抓大放小例4设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有.【解答】（Ⅰ）略.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（分母直接抓大放小）又当当【说明】这里的分母阻碍了式子的求和，式子中，最大的是，他起到了决定整个

7、这个式子数值大小的作用，相比它来说小很多，由此，我们能把留在，去掉，这里既能起到放大式子的要求，也能使通项转化为等比数列，使和式容易求和.就象整棵大树，我们留下了主干，把枝梢末节的地方去掉了。2.2拆大抵小“拆”大“抵”小指的是通项中有一两个数值在放缩时无法直接消去，只能从主要的数值中拆出一部分出来与之相抵，达到放缩的效果.例5设数列的前n项和为Sn，满足，且，，成等差数列.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有.分析（1）略.a1，，（2）略.（3）由（2）知如果将通项分母中的消去，通

8、项将转化为等比数列，可这个转化是一个缩小的放缩，与和式放大矛盾，因而不能直接去掉.我们可以从通项分母中的中拆出一部分出来与相抵，为了达到放大的目的，拆出来的部分必须比大.【解答】（3）由，（拆大抵小）故有：【说明】抓大放小的技巧在于留