利用定积分证明数列和型不等式

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1、利用定积分证明数列和型不等式我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考. 一、(为常数)型 例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证. 分析  这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分

2、的几何意义求解. 证明  构造函数并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，  图1 即， 因为，所以. 所以. 例2  求证. 证明  构造函数，又， 而函数在上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，  图2 即， 所以. 例3  证明。 证明  构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，  图3 即 . 所以. 二、型 例4  若，求证:. 证明  不等式链的左边是通项为的数列的前项之和，右边通项为的数列的前项之和，中间的可当

3、作是某数列的前项之和.故只要证当时这三个数列的通项不等式成立即可. 构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而， 故不等式成立，从而所证不等式成立.  图4 例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数的图象在点处的切线方程为. （Ⅰ）用表示出； （Ⅱ）若在内恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）证明:. 本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明. 证

4、明  （Ⅲ）不等式左边是通项为的数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，则当时，，此式适合，故只要证当时，即， 也就是要证. 由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即.  图5 而，所以， 故原不等式成立.