例谈构造法证明不等式

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1、例谈构造法证明不等式谷学标不等式证明无论是在高考中，还是在各类数学竞赛中，都是比较常见的题型。不等式证明方法多种多样、丰富多彩。然而有些不等式用常规的方法（如比较法、分析法和综合法等）很难证明或根本证不出来，但若能根据它的题设条件及知识点间的相互联系，构造一个与所证结果有关的辅助函数、方程、数列、几何图形等，使问题得到转化，然后再推理运算，便可获得简捷、直观、巧妙的证明。本文通过例题谈谈构造法在证明不等式中的应用。一、构造方程证明不等式由于函数、方程、不等式之间存在着密不可分的关系，函数式可看成方程，而一元二次方程的判别式又可变为不等式，因而某些不等式问题可转化为方程问题，运

2、用方程的理论去求解。例1a、b、c为任意实数，求证(b-c)2≥(a-2b)(2c-a)分析：本题用常规证法较难。但易看出，若a-2b=0或2c-a=0，不等式成立.当a-2b≠0时，原不等式等价于[2(b-c)]2≥4(a-2b)(2c-a)，因而，考察方程(a-2b)x2+2(b-c)+2c-a=0，易知，x=1是方程的根.所以△≥0成立，故原不等式成立。二、构造函数证明不等式有的不等式证明，转化成函数问题，利用函数的单调性、奇偶性等性质来证明，就会变得特别简捷明快。例2已知a>b>0，证明>>分析：由不等式的结构特征可构造函数f(x)=，由f(x)=-1=,可知f(x)

3、在(0,+∞)上f(x)为增函数.∴f(1).分析：此不等式变形后与偶函数相关，由此联想到构造f(x)=-=，易得f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.当x>0时，2x>1即5f(x)=>0，又当x<0时，有-x>0，∴f(-x)=f(x)>0.综上所述,对总有f(x)>0，即>。注：函数的奇偶性是函数在整个定义域上的一个性质，由于奇（偶）函数定义域的对称性，故若知道函数在某一区间上的情形，便可知道

4、它在这个区间的对称区间上的情形，这为构造一个函数、运用转化法证明不等式提供了方便和可能。三、构造数列证明不等式对于与自然数有关的不等式，有时可考虑把它转化为数列，然后，利用数列的递增或递减性来证明不等式成立。例4求证：++…+>，其中n∈N，且n≥2分析：构造an=++…+-（n∈N，且n≥2）则有an+1-an=（++…+++-）-（++…+-）=+-=->0所以数列{an}为递增数列，又a2=+->0，故an>0（n∈N，且n≥2），即原不等式成立。注：欲证含有与自然数n有关的和的不等式f(n)>g(n)，只需证明数列{an}（其中an=f(n)-g(n)）单调递增，且a

5、1>0。例5求证：不等式2n-1≤n!对任何正整数都成立.分析：原不等式等价于≤1，构造一个通项为an=的数列，由==≤1知{an}为递减数列，而a1=1，所以对一切n∈Nx，≤1成立，即原不等式成立。注：欲证含有与自然数n有关的积的不等式f(n)0，只需证明数列{an}（其中an=)单调递减，且a1<1。四、构造平均值，利用平均值换元法证明不等式称为n个数a1、a2…an的算术平均值.5有的不等式证明利用平均值代换可使问题变得简便。例6若a1+a2+…+an=1，求证a12+a22+…+an2≥（n∈N）分析：由题设条件可构造平均值=，并设a1=+β1

6、，a2=+β2…an=+βn，则a1+a2+…+an=1+(β1+β2+…+βn)，∵a1+a2+…+an=1，∴β1+β2+…+βn=0，∴a12+a22+…+an2=（+β1）2+（+β2）2+…+（+βn）2=++(β12+β22+…+βn2)=+(β12+β22+…+βn2)≥注：对于n个变量的和为定值的问题，常以它们的平均值加上一个增量βi的形式来换元，注意其中，这样换元具有有效的转化作用。五、构造复数证明不等式复数在中学数学中占有重要地位，它具有代数、几何、三角、指数等多种形式，有的不等式利用复数的有关性质来证明可使问题非常简单易行。例7已知a、b在(0,1)内，

7、求证：分析：这一不等式较复杂，但证法很多。由左边的根号可联想到复数的模，于是构造z1=a+bi,z2=a+(1-b)i,z3=(1-a)+bi,z4=(1-a)+(1-b)i，由模的性质得，左边=│z1│+│z2│+│z3│+│z4│≥│z1+z2+z3+z4│=│2+2i│=。六、构造二项展开式，证明不等式利用二项展开式的特征规律，通过对某些项的取舍可达到证明不等式的目的。例8设a>1，n∈N，且n≥2，求证：分析：可设，则，欲证原不等式，即证nx<(x+1)n-1，其中x>0，∵，即(x+1)n>n