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《例谈运用构造法证明不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例谈运用构造法证明不等式在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单,但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。下而通过举例加以说明。一、构造向蜃证明不等式例1:证明9)9(272xx,并指出等号成立的条件。简析•证明：不等式左边可看成7与x和2与29x两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(7,2)与b=(x,29x)的数量积，又a•bWlal
2、•Ibl,所以9)9(・)2()7()9(2722222xxxx当且仅当b=Xa(入>0)时等号成立,故由02972xx得：x=7,A,=1,即x=7时，等号成立。例2:求证：61)62()3()1222yxyxy—(简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a=(l-y,x+y-3,2x+y—6)模的平方,又lal・lbl±a・b,为使a・b为常数，根据待定系数法又可构造b=(l,2,-1)于是lal・lb1=6・)62()3()1(222yxyxya•b=11•)62(2•)3(1•)1)—(—(yxyxy所以16・)
3、62()301(222即61)62()3()1222求证：22)1()1()1()1(22222222yxyxyyxyxy—(一、构造复数证明不等式例3、yxyxyxyx简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1二x+yi,Z2二x+(1-y)i,Z3=1-x+yi,Z4=1-x+(1-y)i模的和，又注意到Zl+Z2+Z3+Z4=2+2i,于是由Iz+2z+3z+4z24321zzzzyxyxyxyx可得2222)1()1()1()1(22222222222图(1)此题也可构造向量来证明。三、构造几何图形证明不等式例4：已知：
4、a>0、b>0>c>0,求证：222222cacacbcbbaba当且仅当cabl11时取等号。简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理,于是可构造如下图形：作OA=a,OB=b,OC=c,ZAOB=ZBOC=60°如图(1)则ZAOC=120°,AB=22baba,BC=22cbcb,AC=22caca由儿何知识可知：AB+BCMAC22baba+22cbcb^22caca当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有120sin2160sin2160sin21acbcab，即ab+bc=ac故当且仅当cabl11时収等号。四、构造椭圆证明不等式例
5、5：求证：3132294342xx简析与证明：294x的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。于是令)0(942yxy,则其图象是椭IeI149422yx的上半部分，设y-2x=m,于是只需证313234m,因m为直线y=2x+m在y轴上的截距,由图(2)可知:当直线y=2x+m过点(32,0)时,m有最小值为m=34；当直线y=2x+m与椭圆上半部分相切时，m有最大值。由49222yxmxy得：13x2+4mx+m2-4=0图(2)3令Z=4(52—9m2)=0得：3132m或3132-m(即m的最大值为3132,故3132m34,即313229
6、4342xx五、构造方程证明不等式例6：设al、a2.-an为任意正数，证明对任意正整数n不等式(al+a2+…+an)2Wn(al2+a22+…+an2)均成立简析与证明：原不等式即为4(al+a2+…+an)2—4n(al2+a22+…+an2)W0由此联想到根的判別式而构造一元二次方程：(al2+a22+…+an2)x2+2(al+a2+…+an)x+n=0(*)因方程左边=(alx+1)2+(a2x+1)2+…+(anx+1)22()当al、a2>---an不全相等时，alx+1>a2x+l、---anx+l至少有一个不为()，方程(*)左边恒为正数
7、，方程(*)显然无解。当al=a2=--=an时，方程(*)冇唯一解x=11a故△=△(al+a2+…+an)2—4n(al2+a22+…+an2)W0即(al+a2+…+an)2Wn(al2+a22+…+an2)对任意正整数n均成立六、构造数列证明不等式例7：求证：Cnl+Cn2+・・・+Cnn>21-n2・n简析与证明：不等式左边即为2n-1=2121n从而联想到等比数列的求和公式，于是左边=1+2+22+-+2n~l=2ll(l+2n-l)+(2+2n-2)+・・・(2n-l+l)$21•n・122n=21-n2・n例8：设任意实数a、b均满足lal<
8、l,lbl
