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1、例谈构造法解题在本节课的学习中，涉及函数、不等式等内容，在解题的过程中，通常会涉及不同的方法，下面就和大家讨论一种常用的方法.所谓构造法,就是根据题设条件和结论的特殊性,构造出一些新的数学形式,并借助它认识与解决原问题的一种思想方法.就构造对象来看,常用的有构造表达式、构造几何体(图形)等.在构造表达式中又有构造函数、构造方程、构造不等式、构造数列、构造二项展开式等.(一).构造不等式解题例1.椭圆的焦点为,点为其上的动点,当为钝角时,点的横坐标的取值范围是.解析:由平几知识知,要使为钝角,当且仅当点在以为直径的圆的内部.为此构造以为直径的圆面:即点
2、在圆面①上,又点在椭圆即②上.由①、②消去得即【点评】本题的常规解法是利用两向量数量积小于零求横坐标的取值范围.根据平几知识巧妙构造不等式可使问题既快又准得以解决.(二).构造函数解题构造一次函数求取值范围.例2.设不等式对满足的一切实数的值都成立,求的取值范围.解析:原不等式可化为记要使原不等式成立,则即解得.【点评】视“未知”为“已知”，构造关于的一次函数，由一次函数的单调性得不等式组求出的取值范围.某些数学问题,可以通过构造一次函数,将问题转化为判断一次函数在上函数值的符号问题,从而使问题获得解决.构造二次函数证不等式.例3.若两个正实数满足那
3、么证明:构造函数,因为对一切实数,恒有,所以,从而得所以【点评】构造关于的二次函数,利用其在上大于等于零恒成立时4这一性质,使不等式得证.构造函数利用其单调性解题.例4.证明不等式(n∈N*)设那么对任意k∈N*都有：∴因此，对任意n∈N*都有，∴【点评】构造“混合”函数，利用其单调性求函数最值.使证不等式问题转化为函数单调性问题.例5.已知为△的三边长,求证:【分析】要想由条件直接推证求证式有一定困难,观察三个式子的相似性,与式子有相同的形式,联想函数利用函数的单调性证明.证明:构造函数.下面判断的单调性,任取且,则有,∵,且,则.即函数在上是增函
4、数.即因为,所以即【点评】本题由类比推理产生灵感,构造形式相近的函数,通过证明函数的单调性证不等式,把证明不等式问题转化为比较单调函数两函数值大小的问题.(三)构造方程解题4例6.（2002年全国高考（理）（17））已知,,求，的值．【解】条件式可以整理为，即．…………………………（※）将（※）式看成是关于的一元二次方程，由求根公式得．．，．，．，．．即．．从而．【点评】这里没有说让你解方程，更没有说它是关于的一元二次方程，它需要你自觉视它为关于的方程.这就是能力！(四)构造二项展开式证不等式例7.证明:对于的任意正整数.证明:【点评】二项式的展开式
5、共有项,当各项均为正数时,项数减少,展开式各项的和也随之变小.(五)构造数列求值例8.已知求的值.解:由已知得,即成等差数列.4设其公差为,则.又解得或，.则∴原式【点评】将已知条件构造成等差数列,利用换元法,减少了变量,简化了运算.构思奇妙.(六)构造图形证不等式例9.设,求证:【分析】该代数不等式的证明,虽然已知条件较简单,但不易入手,而仔细分析不等式的模式,构造空间图形,把代数问题转化成立体几何模型,情况就不一样了.证明:表示以为两边,夹角为的三角形的第三边;同理也具有同样的几何意义,于是可构造如图所示的四面体,使,可得.在△中,故原不等式成立
6、.【点评】构造空间图形,构代数不等式化归为立体几何问题,思路新颖独特.4
