例说构造法在解题中的应用

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1、例说构造法在解题中的应用226001江苏省南通第一中学陈跃辉“构造”是一种沟通条件与结论的创新性的数学方法，是一种灵活且不墨守成规的思维方式.构造思想在发展学生的创造思维能力方面的作用远远超过了常规方法.应用构造法解题，常常不拘泥于常规方法，透过题设或结论的表面形式，弄清问题本质的一致性，用特定的视角寻求统一的解题模式或专属的化归方法，从而构建条件到结论之间的“中转站”.教学中，应引导学生学会在知识交汇点处观察、思考问题，实现问题同构、逻辑重组、等价化归，这对于发展学生的创造性思维的能力十分重要.用构造法解题的关键是：弄清题意

2、、在相去较远的条件和结论之间架设“桥梁”.下面举例说明构造法在解题中的应用.1、构造辅助不等式例1.对于任意实数x、y满足：x2-3xy＋4y2＝9，则xy的最大值为，最小值为.解：由(x-2y)2≧0得x2＋4y2≧4xy,x2-3xy＋4y2≧4xy-3xy，即xy≦9所以当，即或时，(xy)max＝9；由(x＋2y)2≧0得x2＋y2≧-4xy，x2-3xy＋y2≧-4xy-3xy，即xy≧-所以当，即或时，(xy)min＝-.评注：这道题目是条件最值问题，直接用基本不等式求xy的最大值是常规解法.而求xy的最小值似乎难

3、以入手.在教学中，若引导学生对基本不等式：“若a、b是任意实数，则a2＋b2≧2ab(当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab)”的背景知识进行深入的挖掘，学生不难想到：若a、b是任意实数，则a2＋b2≧-2ab(当且仅当a＝-b时，a2＋b2＝-2ab).交给学生推理的方法，就是授人于“渔”.2、构造辅助图形例2.已知x、y是任意实数，求证：＋＋＋≧4证明：在平面直角坐标系xOy下，所要证明的不等式的左边的几何意义是：yxOABCP点P(x,y)到边长为2的正方形OABC的各个顶点的距离的和：PO＋PA＋PB＋PC，其中O(0,

4、0),A(2,0),B(2,2),C(0,2).连结OB、AC，由平面几何知识容易知道：PO＋PB≧OB＝2(当且仅当点P在线段OB上时取等号)PA＋PC≧AC＝2(当且仅当点P在线段OB上时取等号)两式相加，得PO＋PA＋PB＋PC≧4＋＋＋≧4(当且仅当x＝y＝1时取等号)评注：这道证明不等式的题目，通过建立平面直角坐标系，可利用不等式的数字结构特点及其几何意义，构造图形，利用数形结合的思想和平面几何的有关知识证得.3、构造辅助数列例3.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an+2×3n，nÎN＊.求数列{an}的通项

5、公式.解：由an＋1＝3an+2×3n，nÎN＊，两边同除以3n+1，得=＋，令bn＝，则bn＋1-bn=，所以，数列{bn}成等差数列，且首项b1＝，公差d＝所以，bn＝＝＋(n-1)･所以，数列{an}的通项公式为：an＝(2n-1)3n-1.评注：数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，将递推公式的两边同除以3n+1后，利用换元法构造出等差数列{bn}，问题也就迎刃而解了.4、构造辅助平面例4．已知：在△ABC与△A1B1C1中,直线AB∩直线A1B1＝点P,直线BC∩直线B1C1＝点Q,直线AC∩直线A1C1＝点R.

6、求证：P、Q、R三点共线.A1baABCB1C1PQR证明：因△ABC的三个顶点A、B、C不共线，由公理3得经过点A、B、C可作平面a.同理：经过点A1、B1、C1可作平面b.因为直线AB∩直线A1B1＝点P,所以，PÎ直线AB，PÎ直线A1B1，又ABÌa，A1B1Ìb，所以，PÎa，PÎb，即点P是平面a与平面b的公共点.同理：点Q、点R也是平面a与平面b的公共点.由公理2得P、Q、R三点共线于平面a与平面b的交线.评注：证空间三点共线，常常将这三点归结为两个相交平面的公共点.由题意，自然想到构造辅助平面.5、构造辅助方程

7、例5.已知：实数x、y、z满足，求x的取值范围.解：由①，得yz=x2-8x＋7，③由②，得y2＋z2＋yz=6x-6，④③＋④，得(y＋z)2＝x2-2x＋1＝(x-1)2，所以，y＋z＝±(x-1)⑤利用③、⑤构造关于t的一元二次方程：t2±(x-1)t＋x2-8x＋7＝0.此方程有实数根y、z的充要条件是：△＝[±(x-1)]2-4(x2-8x＋7)=-3(x2-10x＋9)≧0解得，实数x的取值范围是：[1，9].评注：由关于实数x、y、z的方程组求x的取值范围，关键是：消去y、z，寻找关于x的约束条件.用x表示y、z

8、较难，但注意到可以用x表示yz和y＋z，联想到根与系数的关系，“逆用”韦达定理构造辅助方程，用整体的思想解得.6、构造辅助函数例6.已知：x、y、z是同一三角形的三边.求证：＋>证明：构造函数f(x)＝＝1-，xÎ(0，＋∞).当x>0时，f¢(x)＝>0恒成立.所以,函数f