浅谈构造法在解题中的应用

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1、浅谈构造法在解题中的应用临川二中：刘胜军提要:构造法是以创造性思维为依托，用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，在思维中构造出一种新的数学形式，使解题突破常规另辟蹊径，表现出简捷、明快、精巧、奇异的特点。本文结合一些典型的例题，介绍构造法在解题中的巧妙运用。关键词:构造法、解题、应用“构造法”是指为解决某个数学问题时先构造一种数学形式（比如几何图形、代数式、方程等），寻求与问题的某种内在联系，使之简单明了，起到化简、转化和桥梁作用，从而找到解决问题的思路、方法。此法重在“构造”、

2、深刻分析、正确思维和丰富联想。它体现了数学中发现、类比、化归等思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要方法，是一种富有创造性的解决问题的方法。数学问题千变万化，题型丰富，某些问题技巧性强，如果只用常规方法去处理可能很复杂，即使花费了大量时间和精力也难以凑效。如果我们能够根据题设条件和题型结构的特点，恰当地运用构造法，能使问题迎刃而解。下面举一些应用构造法的例题，介绍其在数学解题中的巧妙应用。一、构造图形解题:当题设条件中的数量关系有比较明显的几何意义或以某种方式与几何图形相连接时，我们可以根据已知

3、条件构造出符合要求的特殊图形，明确反映各个变量之间的关系，就能准确快速地做出解答。例1、在ΔABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c,若c-a等于AC边上的高h，则+的值是______.A.1B.C.D.-1解:由于本题是选择题，可以根据题意构造边长分别为a=1、b=、c=2的直角三角形ABC，从而有1=c-a=h，符合条件；因此+=sin30º+cos60º=1，故选A.点评：这是一道比较典型的三角函数题，通过对题目的观察，由目标导向构造直角三角形，从而化难为易迅速求解，节省宝贵的时间。

4、例2、在ΔABC中，已知2b=a+c,且a

5、(-1)::(+1)。点评：这是一道有一定难度数学题，如果按照常规思路，利用正弦定理和余弦定理求解的话有一定的难度，但本题通过对题目的观察，构造相似三角形，从而达到求解的目的。二、构造代数式解题:如果利用函数的观点，借助函数的有关性质分析问题，可根据题意构造出相应的函数，从而转化问题，解决问题。例3、已知，R且，,求?分析：初看此题一时无法入手，研究条件发现两个等式有些相似之处，对第二个等式变形：，对照两等式和所求的结论思考，是否可以找到和的关系？从而构造函数,则两个条件分别变为和。解：由与=这两

6、部分完全类似，由此可构造函数形式，设,t,易证在上单调递增，又题中条件变为=0,,得,所以.评注：函数是在中学数学中是很重要的数学知识，函数的性质也很丰富，所以在解题过程中构造函数，充分利用函数的性质，将会给我们的解题带来很大的方便。例4、已知当x[0,1]时，不等式x-x(1-x)+(1-x)sin>0恒成立，试求的取值范围？分析：初看此题，研究条件我们发现本题有两个函数：二次函数和三角函数，一时不知从哪里入手。分析之后，我们发现构造二次函数，利用函数性质更容易解决问题。解：构造关于x的二次函数

7、f(x)=xcos-x(1-x)+(1-x)sin=(sin++1)x-(2sin+1)x+sin由f(0)>0,f(1)>0,可知sin>0,cos>0故对称轴x=-==(0,1)于是必有Δ=(1+2sin)-4sin(+1+sin)<0解得k+<

8、题向简单明了的方向转化。例5、求cos10º+cos50º-sin40ºsin80º的值?分析：三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式、借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。解:设A=cos10º+cos50º-sin40ºsin80º，构造对偶式B=,则A+B=2-cos40º①A-B=cos20º+cos100º+cos120º=2cos60ºcos40º-②①+②得，A=，即10º+50º-sin40ºsin80º=.点评：这是一道比较典型的三角求值题，