构造法在解题中的应用.pdf

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1、第36卷第3期长春工业大学学报VoI．36NO．32015年06月JournalofChangehunUniversityofTechnologyJun．2015DOI：10．15923／j．cnki．cn22—1382／t．2015．3．27构造法在解题中的应用刘瑞香，杨录胜(山西农业大学文理学院，山西太谷030801)摘要：通过典型例题总结了在解题中常用的几种构造方法，构造法可使论证过程简洁明了，并培养学生的创造性思维。关键词：数学思想；构造法；辅助函数中图分类号：O172．2文献标志码：A文

2、章编号：1674—1374(2015)03—0357—04ConstructionmethodsinproblemsolvingLIURuixiang。YANGLusheng(co11egefArtsandscience，ShanxiAgricuItura1University，Taigu030801，China)Abstract：Constructionmethodsaresummarizedinproblemsolvingwithsomeexamplestoshowthatthemethodc

3、anmaketheprovingprocessclearandconcise，andhelpstudentstodevelopthecreatingthinking．Keywords：mathematicalidea；constructionmethods；auxiliaryfunction．与柯西中值定理的证明，通过构造辅助函数很容O引言易就证明了结论，推理过程简单明了，但是对初学构造法是一种重要的数学思想。所谓数学思者“如何构造”大多感到抽象，难以理解。因为构想是指现实世界的数量关系和空间形式

4、反映到人造法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，且脑中，并经过思维活动而产生的对数学事实与数构造法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，学理论的本质的认识。如我们熟悉的转化思想、这就要求在解题中不断总结、归纳适宜用构造法数形结合思想、整体思想、极限思想等]。构造法解题的类型_3]。文中通过典型例题总结了在解题是指先构造一个与待证结果有关的辅助函数或是中常用的几种构造方法。命题，而后再利用已知条件及有关概念、定理推理1构造二次函数解题得出所要证明的结果。它具有两个显著的特性，即直观性和可行性。正是

5、这两个特性，使得构造例1l_4]证明柯西不等式。设{a，a，⋯，法在求解数学问题中得到了广泛应用]。a)，{b，b。，⋯，b)为两组实数，则有构造法比较典型的应用是拉格朗Et中值定理收稿日期：2O15—01-25基金项目：山西农业大学科技创新基金(201210)作者简介：刘瑞香(1973一)，女，汉族，山西平遥人，山西农业大学文理学院讲师，硕士，主要从事概率统计方向研究，E—mailliuruixiang2OO3@126．corn．358长春工业大学学报第36卷构造二次函数h(￡)一At。+2Bt

6、+C一，，证明设∑n2一A，∑一C，∑口b—』∽如+：厂g(x)dx+fbagz∽如一i=1i=1f一1B∑，口构造二次函数I[()+2f(x)g(x)t+82(x)Jdx—6、l，，()一Ax。+2Bx+C一I[厂(z)￡+g(z)]dx≥0，≤J∑(nz。+2abX+6{)一=1又A—If(z)dx≥0，不妨设A>o(A一0结论∑、l／∑(n+bi)≥0f一1显然成立)，则此二次函数的判别式A一4B。一4AC一又A一∑n≥0，不妨设A~O(A=O结论显然∑、l／成立)，则此二次函数的判别式4[

7、(：鼬)一(：)(：)]≤。A一4B一4AC一即4[(∑口b)。一(∑n2)(∑6{)]≤0(』厂(z)g()dz)≤J’：厂(z)dz·j’：g(z)dz即例3E设口，b(志一1，2，⋯，)为实数，且n}-a；_-．·一口：>O或b；-b；_．-·一6：>O，则(∑nb)≤(∑n2)(∑)。(nj—a；一⋯一a：)(一b；一⋯一b：)≤例2[4证明施瓦兹不等式：若函数-厂(z)和(n1b1一a2b2一⋯一口b)g()在[口，6]上可积，则等号当且仅当a，b(是一1，2，⋯，)成比例时成(j．，(

8、z)g(z)dz)≤：，。(z)dz·J’：g。()dz。立。证明设a，b(一1，2，⋯，)不成比例，且证明因为厂()和g(z)在[n，6]上可积，所b-b；_-．·一>0，构造二次函数以(z)，g()，，()g(z)在[口，6]上都可积，且厂(z)一(一b；一⋯一b：)z一对任意实数t，If(x)+￡g(z)]也可积。2(n1b1一a2b2一⋯一ab)z+设(n；一a；一⋯一a：)lf(z)dx—A变形，得，(z)一(61z—a1)一(62z—a2)一⋯一r6(b．x-an所以，