例谈构造法常见类型

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1、例谈构造法的常见类型冯寅构造法是数学解题中富有创造性的思维方法，它要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，通过分析具体命题，构造一些新的图形、模型、方程、函数等。使命题中原来隐晦不清的关系和性质，在新的构造中清楚地展现出来，从而简捷地解决原命题。在中学数学中可以进行怎样的构造呢？一、构造函数例1.若，且满足方程：和，则_________。分析：此题一时无从着手，研究已知条件，发现两个等式有一些相似的地方，对第二个等式进行变形可得：，对照两等式和所求的结论思考，是否可以找到x和2y的关系？构造函数，则两个条件分别变为：和，即，因为函数是奇函数

2、，所以有，又因为当时，是单调递增的函数，所以有：，即，因此，。说明：函数是数学中一种重要的知识，函数的性质千变万化，所以在解题中若能构造函数，利用函数的性质，将会给我们的解题带来很大的方便。二、构造方程例2.已知，且，证明x，y，z成等差数列。分析：要证x，y，z成等差数列，其充要条件是，对照条件与结论，由条件的二次式要化为结论的一次式难度较大。仔细观察条件式的结构特点，发现很象二次方程中的判别式，反过来构造二次方程，再分析关于t的二次方程的系数特点，各项系数之和为零，所以方程必有一根为1，而方程判别式为零，所以方程有两个等根1。由根与系数

3、关系得：即说明：每个问题都有自己深刻的内涵，结构上也都有各自的特点，在解决问题时若能深入地了解它的本质，对我们解决问题大有益处，而构造方程是我们构造法中的重要内容。三、构造图形例3.已知正数a、b、c，A、B、C满足。求证：分析：此题解决的方法很多，但都不是很简单的。如何利用好已知的等式是解决此题的关键，我们以k为边长构造一个正三角形MNP（如图1），则各顶点上小三角形面积之和小于大三角形的面积。故有图1从而得说明：数与形是数学学习中的两个方面，构造图形以形助数，是我们数学学习中的一种重要手段。四、构造情景例4.求证：分析：根据等式的右边，

4、我们可以构造这样的情景：“从n+m个不同的元素中取出k个元素，共有多少种不同的取法？”由于组合恒等式的左边为k+1项之和，这意味着完成这件事有k+1类办法。又因为每项都是两个组合数的乘积，表示每一类办法都需分两步来完成。第一步在其中n个元素中取i个，第二步在另m个元素中取个（，），每类办法都是总共取出k个元素。至此，易得这个恒等式。说明：通过上例，我们可以看出，在证明某些等式时，我们可以先为它设置一个情景，在这个情景下，通过新的知识加以解决。五、构造对称例5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。分析：这是一个很普通的三角

5、题目，解法很多。注意到，可设，构造，再将a与b相乘得：所以说明：对称是数学中的一种重要表示形式，在解决问题时我们经常利用对称的思想，当所给的条件不具备对称时，我们可以创造条件利用对称来解题。六、构造模型例6.求二元函数的最小值。分析：此题很难用常规的方法来加以解决。观察结构的特点，很象两点之间的距离公式。把函数关系看成是点P（x，）和点Q（y，）的距离，而点P（x，）的轨迹是直线：，点Q（y，）的轨迹是双曲线：，所以原问题转化为：直线上的点和双曲线上的点的距离平方的最小值。由图象可知，AB连线过原点且与直线垂直时，其交点C到B最近。此时，A

6、、B、C三点的坐标是A（1，1），B（―1，―1），C（，），，即F（x，y）的最小值是。图2说明：数学中很多公式就是一个模型，如两点之间的距离公式，直线的斜率公式，定比分点坐标公式，复数的模等等。只要我们仔细观察，合理构建，一定能找到合适的解题途径。