例谈构造法解函数问题的常用技巧

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1、构造函数是求解与导数有关综合问题的一个重要抓手，近年来高考试题中频繁出现用构造函数方法解决的综合问题.只有掌握构造函数的一些技巧和方法，才能达到快速有效解题的目的.下面谈几个构造函数的技巧，供参考.1.构造差函数例1设xER，求证：ex^l+x证明构造函数g(x)=ex-x-l,则g'(x)=ex-l.当x彡0时g'(x)>0，g(x)在(0，+⑺)上是增函数；当x<0时g'(x)<0，g(x)在(-°°，0)上是减函数，于是g(x)在x=0处达到最小值.因而当xER时，g(x)(0)，即ex》l+x.点评如果把所证不等式两侧相减的结果构造成一个函数，这个函数容易求导，求导

2、后也容易判断正负，就可以直接构造函数.2.构造商(积)函数例2f(x)是定义在(0,+〜)上的非负可导函数，且满足xf'(x)-f(x)<0，对任意正数a，b，若a0)，则F'(x)=(f(x)x)'=xf'(x)-f(x)x2.因为x>0，xf'(x)-f(x)<0，所以F'(x)彡0,故函数F(x)在(0,+-)上为增函数.又0点评如果条件式中出现f(X)与f'(x)的差可以考虑构造两个函数的商的函数，如果条件式中出现f(X)与f'(x)的和可以考虑构造两个函数的积的函数.1.分离参数后构造例2已知函数f(x)=a+lnxx(aER).(1)求函数f(x)的单调区间和极

3、值；(2)若f(x)=1在区间(0,e2］上有解，求实数a的取值范围.解析(1)略；(2)f(x)=1在区间(0，e2］上有解，即a+lnxx=l在区间(0,e2］上有解，分离参数得a=x-lnx在区间(0，e2］上有解.构造函数g(x)=x-lnx,则g'(x)=l-lx，令g'(x)=0,得x=l.当00，所以g(x)在(1，e2］上是增函数，故g(x)有极小值g(1)=1，无极大值，即g(x)彡1，所以a彡1.点评在求参数范围问题中，如果能分离参数，应该先分离参数再构造函数求导，解法自然简洁.2.变形后构造例3设画数f(x)=l-e-x,(1)证明：当x〉-l时，f(

4、x)^xl+x；(2)设当x>0时，f(x)^xax+1,求a的取值范围.解析(1)如果直接构造函数g(x)=l-e-x-xl+x求导，导数形式会很复杂，不易求得零点，可考虑将要求证的不等式进行变形，即f(x)^xl+xex>x+l,构造函数g(x)=ex-x-l,求导容易证明.(2)略.点评对于含分式不等式的证明可以证明与之等价的不含分式的不等式，即可以先做适当变形再构造函数.1.截取部分因式构造例4设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=12,求f(x)的单调区间；(2)若当xX)>0，求a的取值范围.解析(1)略.(2)f(x)=x(ex-l-ax)，Vx

5、^O,所以只要ex-1-axX)即可，故构造函数g(x)=ex-l-ax.gx)在(-1(x)=ex-a.若a^l,贝！1当xE(0,+°°)时，g'(x)>0,g(x)为增函数，而g(0)=0,从而当x》0时，g(x)^0,即f(x)>0.若a〉l，则当xE(0，Ina)时，g'(x)0，h(x)在(-1，0)上递增；当x〉0时，IVx)g(0)=0;当x>0时，g(x)0