解抽象函数问题的常用策略

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1、解抽象函数问题亦“有章可循”抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。这类问题既能全面地考查学牛对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、以及对一•般和特殊关系的认识。近年在一些高考试卷中或地方模拟卷中时常会出现抽象函数。然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，人多数学生在解决这类问题吋，感到束手无策。本文举例说明解抽象函数问题其实亦有章可循，有法可依。供参考!一、换元策略使抽象函数具体化对于抽彖函数，可以通过换

2、元化抽象为具休，转化为具休函数可求解，同时要注意新元的取值范围。例1已知函数/CO的值域试求y=f(x)+Ji-2f(z)的值域。.84--

3、下，函数在［32］上是增函数，则3时，y1t_lIll取最小值9,当2吋，y取最大值*故所求值域为［9乜］。二、图象示意策略使抽象函数形象化一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n个孤立的点，但通过示意图却使抽彖变形彖化，冇利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。例2函数f(x)在［o,3］上是增函数，函数y=是偶函数，则请比f(

4、)f(耳)较2,f⑸，3的大小。分析：根据已知作合乎题意的最简单、最直观的增函数f(x)=x,淞［0,3］的图象oa,rtiTy=f

5、(x+3)是rtiy=f仗)的图象左移3个单位得到，所以汁£仗+刁图象是线段OA,乂因为函数y=f仗+R是偶函数，所以图象关于y轴对称，所以y=f(x+3)在xe［°3］上图象为线段AO把线段A©,右移3个单位310「Xf(5)

6、)d.(-2,0)Y(2g分析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,口f(x)的图像关于原点对称。根据题设条件可以作出函数f(x)在R上的大致图象，由xf(x)<0得:x与f(x)异号。由图像可得解集为(一2,0)Y(0,2),选择(A)。三、“穿脱”策略使问题简化加上函数符号即为“穿”，去掉函数符号即为“脱”。对于有些抽彖函数，可根绝函数值相等或者函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。例4已知f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，且y，若f(x+3)-f(

7、-)<2f(6)=l,解不等式£o才f⑹-1f(沪f仪)-f⑵f(手)=f(36)-f(6)分析：由-1,歹得：6，所以f(36)=2o即f(x2+3x)0l>0x24-3x<36四、模型化策略使解题思路明朗化模型化策略，就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型，作出门标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法。对于选择

8、、填空题，可用模型函数解决；对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。例5已知函数f(x)对任何孟yeR，总有f(z)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，2)<0。(1)判断函数的奇偶性,(2)判断函数f(x)在R上的单调性。分析：对任何"ER，总有2)+f(y)=f(x+y),可猜想抽象函数f(x)生成的原形函数：f(x)=kx,由x>0吋，f(x)〈0。知k〈0,所以问题(1)、(2)的答案可大胆猜想如下：(1)函数f(x)是奇函数，(2)函数f(x)在R上是减函数。尽管这只是对问题的猜

9、想不是严格的证明，但带着结论去探求解答，思考线索明朗了，更加有的放矢了。一般地对函数f(x)来说：(1)若满足f(x)+f(y)=f(z+y),则可构造模型函数f仗)二也，(心0)；(2)若满足f(a+x)=f(a-x)>则可构造模型函数f(x)=m(x-a)24-n>(山H0)；2)=空⑶若满足f(繆)=吃)・2)或者yf(y),则可构造模型函数f(x)=xn；f(x—y)=型(4)若满足吃+y)=f(洸(y)或者f(y)，贝冋构造模型函数3(a>0,aHl)；f(-)=f(x)-f(y)(5