浅谈抽象函数问题的解

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1、浅谈抽象函数间题的解法在高考中函数一章一直作为考查的重点，而高考对函数的考查也是多方面的。抽象函数问题被冷落一段时间Z后，近来似乎以有回升Z势，这类问题综合考杳学生的抽象概括能力,而《新课标》屮明确指出：“抽彖概括能力，不仅在数学学习屮，在对数学概念和结论的理解中是必需的。”这类问题没有给出具体的解析式，但乂要用源于课本的知识来解决，学生普遍感到非常棘手，因此，我将这类问题总结如下，以期抛砖引玉。函数是一个重要的数学概念，本身就难以理解，f(x)只是一个抽彖的符号，它代表具休的解析式，只有记号而没有给出具体解析式的函数问题，我们

2、称之为抽象函数问题，这类问题外观别致，内涵深刻丰富，但因隐去了解析式这个函数的要索，使问题变的扑朔迷离，增加了求解难度，解决抽象函数问题的关健是化抽象为具体，应用函数的性质及图象实施转化。—、科用具体函数模型进行类比转化遇到此类问题，把题屮给出的函数信息与熟悉的模型类比，从而捉出猜想，培养学生的创造性思维，中学阶段具体函数模型有：抽象函数/⑴具有的性质特殊函数模型=/(%!)+/(^2)正比例函数/⑴=kx/U1+X2)=/(J：1)-/(X2)/(兀1-兀2)=/(“)//(七)指数函数：/(X)=d'(Q〉O,dHl)/(兀

3、1*2)=/(坷)+心)/(A-14-X2)=/(A-

4、)-/(X2)对数函数：f(x)=log^念)+/(心2/(蔦花)川弄)余弦函数：/(兀)=cosX例1、对丁•任意正数儿y，总右f(xy)=/(x)+/(y)则下列各式中错误的是()A、/(1)=0D、f(xn)=nf⑴XB、/(-)=/«C、/(-)=/U)-/(y)xy分析：根据题中所给的函数的性质，我们可以类比对数函数模型，便会发现A、C、D、都是对数函数所具冇的性质，I佃唯冇B不具冇。因此我们便很顺利的选出答案B了。例2、设函数的定义域R当兀＞()时,有/(力＞1

5、且对于任意兀、“R前(兀+刃=f(x)-f(y)成立，解不等式心右分析：己知条件中有所以町以类比联想到指数函数又因为条件中有是所以满足条件的函数的一个模型为。此不等式可变为即若此题为选择题或填空题便可得到结果。因为有此联想则题意十分简明，为解决题目作了一个模型和方法上的铺垫。解：由题意令X=y=j,得:心=斥)迸)=［迸)『假设3几扇(兀)=0则当X>0时，有：/0-兀0+%0)=/(兀一兀0)・/(兀0)=0与/(兀)>0矛盾。・••对X/兀都有/(%)>()令X=y=O得：/(0)=1设兀］<兀2则兀2一尢

6、>0・•・/(兀

7、2-州)>1/(兀2)=/(“+兀2一兀J=/Ui)-/(X2一為)>/(兀］)•••/(心是增函数・••原不等式等价于/(兀)•f(x+1)<1即/(2x+l)

8、)则下列结论中正确的是：()A、/(2)=0B、/⑴是以4周期的函数C、于⑴的图象关于尢=0对称D、/(%+2)=/(-%)解：由函数几兀)是奇函数可得f(x-2)=f(-x)・••/(x)关于兀=-1对称，从而否定CX/(x-4)=-/(x-2)=/(x)・・./(x)周期是4令x=24

9、数/(%)的图象关于久=1对称C./(%)在［0,1］上是增函数D./(x)在［1,2］上是减函数E、/(2)=/(0)•・•/(x+2)=/(x+l+l)=-/(x+l)=/(x).・./(x)周期是2•・•/(兀)是偶函数f(x+2)=/(x)=/(-x)函数/(兀)关于兀=1对称•・•于(兀)是偶函数且关于x=l対称/(兀)在［0,1］±是减函数，在［1,2］是增函数令兀=0代入到f(x+2)=/(兀)屮得/(2)=/(0)正确是：A>B、E小结：以上两个例题说明了函数的性质之间如何互和推导，特别是函数的奇偶性，周期性，对

10、称性之间的推导。充分利用两个题得到的结论，可以使我们找到很多题的解决方法。例5、设/(尢)是定义在R上的偶函数，其图象关于兀=1对称，对任意的小，兀2“0,丄］都有/(“+兀2)=2/(山)•/(乳2)，/(I)=a>0⑴求/(y),码)(2)证明/(x)是周期