2、定义域为(-0)-1］u(-,+8)x32总结：函数的定义域是指自变量的取值范用，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同(即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围)，如本题屮的“1与丄+2的范围等同。X2、值域：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定。材料二：若函数y=/(x4-l)的值域为［-1,1］,求函数y*(3x+2)的值域。解析：函数y=/(3x+2)中定义域与对应法则与函数y=f(x+l)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=/(3x+2)的值域也为［-1,1］。总结：当函数的定义域与对应法则不变
3、时，函数的值域也不会改变。3、对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。材料三：设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数>=/(兀-1)与y=f(-x)的图象关于()A、直线y=0对称B直线兀=0对称C直线y=l对称D直线x=1对称解法一(定义证明)：设点P(x0o?o)是函数y=/(x-l)的图象上的任意一点，则儿=/(x0-1),P(兀。，儿)关于直线兀=加的对称点为P/(2/n-x0,y0),要使点0(2加-兀),九)在函数y=/(l-x)的图象上，则y0=/[l-(2/n-x0
4、)]=/(x0+1-2/7?),应有1一2加=一1,故m=1,所以函数)，=/(x-1)与尸/(!-%)的图象关于直线“1对称。解法二(图象变换法)单位，得到y=/[-(x-1)]=/(1-x)的图象。如图所示，选D。解法三(特值代入法)：由已知可得点m/(-o)在函数)-/(%-!)的图象上，点e(2,/(-l))在函数y=f(l-x)的图象上，又点P、Q关于直线兀=1对称，选D。总结：了解一些简单结论对图象；由函数y=/(x)的图象关于y轴对称得到函数y=f(-x)的图象，再向右平移1个解题也是很有好处的。如:函数y=/(
5、%)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=/(x)的自对称轴为x=-;函数y=/(tz+x)与y=f(b-x)的互对称轴为a+x=b-x,即b-ax=24、周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。材料四：设y=/W是定义在R上的奇函数，其图象关于直线乂=1对称。证明y=f(x)是周期函数。证明：由y=/(x)的图象关于直线x=1对称，得/(2+兀)=/(-%),又y=/(兀)是定义在R上的奇函数，所以/(-%)=-/U).・.Z(24-x)=-/(x),则/(4+x)=f[2+(24-x)]=
6、-/(2+x)=-[-/(%)]=/(x)由周期函数的定义可知4是它的一个周期。总结：一般地，f(x+T)=-f(x),/(无+门=±丄均可断定函数的周期为fM2To5、奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题一一紧扣定义、合理赋值。材料五：已知y=/(%)是定义在R上的不恒为零的丙数，且对于任意的a,bwR,都满足：f(a-b)=af(h)+hf(a)o判断y=f(x)的奇偶性,并证明你的结论。解析:令a=b=l9贝lj/(l.l)=l./(l)+l./(l),得/(1)=0;令a=h=-9则/[(-1)•(-1)]=(-1)•/
7、(-I)4-(-1)•/(-I),得/(-1)=0;令a=-l,b=x得/[(-1)•%]=(-1)•/(%)+x•/(-I),得/(-%)=-/(%)因此函数)y/⑴为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。6、单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。材料六：设y=f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且对于任意的w[-1,1],当q+/?hO:由函数)，=/(x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(x-)的口寸，都有：/(°)+/0)〉0。若a〉b,试比较f(Q)与f(b)a+h的人
8、小。解析：f(a)-f(b)=/⑺)+f(-b)=WH•s+(")］,a+(一b).,nT7f(d)+f(b)n•••ci>b，:.a-b>0f―>0，a+b•••g-f(b)>0,即f(a)>f(b)o总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到3〉1(或心)3<1)来判
