抽象函数周期问题复习

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1、抽象函数的周期问题由一道高考题引出的儿点思考I对称。对任意2001年高考数学（文科）第22题：设/（X）是定义在R上的偶函数，其图彖关于直线X=都冇/（心+兀2）=/（為）・/（兀2）。(I)设/(I)=2,求（ID证明/（x）是周期函数。解析：（I）解略。(II)证明:依题设关于直线对称故/（兀）=/（2—兀），xeR又i/（x）是偶两数知/.f{-x）-/（2-x）,xeR将上式屮一兀以x代换，得/（%）=/（x+2）,xeR这表明/（兀）是R上的周期函数，且2是它的一个周期/（X）是偶两数的实质是f（x）的图彖关于直线x=0对称又/（兀）的图象关于兀=1对称，可得/（兀）是

2、周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设

3、

4、是定义在/?上的偶函数,其图彖关于直线x=a（a^0）对称，证明/（兀）是周期函数，口2。是它的一个周期。证明：•••/（X）关于直线x=a对称.•./(%)=f(2a-x)9xeR又由/（x）是偶函数知/（一兀）=/（兀），xeR/./（-x）=fQci一兀）,xeR将匕式中一兀以x代换，得/（兀）=/（2。+兀）,xeR・・・/(兀)是/?上的周期函数且2d是它的一个周期思考二：设/(x)是定义在/?上的函数，其图象关于直线x=a和兀=对称。证明/(兀)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。证明:•:fi

5、x)关于直线x=a和x=b对称:.f(x)=f(2a-x)9xeRf(x)=f(2b-x),xwR:.f(2a-x)=f(2b-x),xwR将上式的一兀以x代换得/(2d+x)=/(2b+x),xwR/./[x+20-cz)]=f[(x-2a)-^-2b]=f[(x—2a)^2a]=f(x),xeR・・・/C0是R上的周期函数且2(b-a)是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，/(兀)还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三：设/(兀)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称。证明/(x)是周期函数，且4是它的一个周期。，证明：•・•/'(%)关于x=

6、l对称・・./(兀)=/(2—兀)，xeR又由/(x)是奇两数知于(_兀)=_/(x),xeR・•・/(2—兀)=—/(—x),xeR将上式的一兀以x代换，得/(2+x)=—/(x),xeR・•・/(兀+4)=/[2+(x+2)]=-/(兀+2)=-[-/«]二/3，xeR・・・/(兀)是/?上的周期函数且4是它的一个周期/•(兀)是奇两数的实质是/co的图象关于原点(O,0)中心对称，又/(X)的图象关于直线兀=1对称，可得/(兀)是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到思考四：设/(x)是定义在R上的函数，其图象关于点M(a,0)屮心对称，且其图象关于直线

7、X=b(bwa)对称。证明/(兀)是周期两数，且4(b-a)是它的一个周期。证明：・・・/(兀)关于点M(a,0)对称.••/(2d-x)=-/(x),xeR•/f(x)关于直线x=b对称/./(x)=/(2/?-x),xeR/.f(2b-x)=-f(2a-x),xeR将上式中的一兀以兀代换，得/(2b+兀)=-/(2°+x),xeR・•・/[兀+4(b-d)]=/[2b+(x+2b—4q)]=-/[2a+(jc+2b-4a)]=-f[2b+(x-2a)]=/[2g+(兀一2d)]=fM，xeRa/(x)是/?上的周期函数且4(b_a)是它的一个周期由上我们发现，定义在7?上的函

8、数/(%),其图象若冇两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则/(X)是/?上的周期函数。进一步我们想到，定义在/?上的函数/(%),其图彖如果有两个对称中心，那么/(兀)是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设/(兀)是定义在/?上的函数，其图象关于点M(a,0)和N(b,0)(ciHb)对称。证明/(兀)是周期函数，且2(b_ci)是它的一个周期。证明：t/O)关于M(d,0),N(b,0)对称.•・/(2°—兀)=一/(兀),xeR/(2^-x)=-/(%),xeRf(2a-x)=f(2b-x)9xeR将上式中的一X以兀代换，得f(2a+%)=/(2Z?4-x),xe

9、R.-./[%+2(/?-a)]=f[2b+(x-2a)]=/[2q+O-2a)]=/(x),xeRa/(x)是周期函数且2(b_a)是它的一个周期抽象函数解法举例1.己知函数f(x)='E~,flf(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(l)=2,g(x)是增断数.g(m)•g(n)=g(x)+lg(m+n)(m、nER)求证：①f(x)是R上的增函数n②当nWN」N3时,f(n)>〃+1解：①设X

10、>X2•••g(x)是R上的增函数，且g(x)>0••g(Xt)>g