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1、6/19/2021胜试学堂抽象函数的周期问题——由一道高考题引出的几点思考2001年高考数学（文科）第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。（I）设求；（II）证明是周期函数。解析：（I）解略。（II）证明：依题设关于直线对称故又由是偶函数知将上式中以代换，得这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期是偶函数的实质是的图象关于直线对称又的图象关于对称，可得是周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。证明：关于直线对
2、称又由是偶函数知将上式中以代换，得是上的周期函数且是它的一个周期思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。证明：关于直线对称内部教材，请勿外传。VIP教研组版权所有未经允许，请勿外传。第9页6/19/2021胜试学堂将上式的以代换得是上的周期函数且是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。，证明：关于对称又由是奇函数知将上式的以代换，得是上的周期函数且4
3、是它的一个周期是奇函数的实质是的图象关于原点（0，0）中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。证明：关于点对称关于直线对称将上式中的以代换，得内部教材，请勿外传。VIP教研组版权所有未经允许，请勿外传。第9页6/19/2021胜试学堂是上的周期函数且是它的一个周期由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数。进一步我们想到
4、，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。证明：关于对称将上式中的以代换，得是周期函数且是它的一个周期抽象函数解法举例1．已知函数f(x)=,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(1)=2,g(x)是增函数.g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)求证：①f(x)是R上的增函数②当nN,n≥3时,f(n)>解:①设x1>x2内部教材，请勿外传。VIP教研组版权所有未经允许，请勿外传。第9
5、页6/19/2021胜试学堂g(x)是R上的增函数,且g(x)>0g(x1)>g(x2)>0g(x1)+1>g(x2)+1>0>>0->0f(x1)-f(x2)=-=1--(1-)=->0f(x1)>f(x2)f(x)是R上的增函数②g(x)满足g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)且g(x)>0g(n)=[g(1)]n=2n当nN,n≥3时,2n>nf(n)=＝1-，＝1-2n＝（1+1）n＝1+n+…++…+n+1>2n+12n+1>2n+2<,即1->1-当nN,n≥3时,f(n)>1．设f1(x)f2(x)是(0,
6、+∞)上的函数,且f1(x)单增,设f(x)=f1(x)+f2(x),且对于(0,+∞)上的任意两相异实数x1,x2恒有
7、f1(x1)－f1(x2)
8、>
9、f2(x1)－f2(x2)
10、①求证：f(x)在(0,+∞)上单增.②设F(x)=xf(x),a>0、b>0.求证：F(a+b)>F(a)+F(b).①证明:设x1>x2>0内部教材，请勿外传。VIP教研组版权所有未经允许，请勿外传。第9页6/19/2021胜试学堂f1(x)在(0,+∞)上单增f1(x1)－f1(x2)>0
11、f1(x1)－f1(x2)
12、=f1(x1)－f1(x2)
13、>0
14、f1(x1)－f1(x2)
15、>
16、f2(x1)－f2(x2)
17、f1(x2)-f1(x1)f1(x2)+f2(x2)f(x1)>f(x2)f(x)在(0,+∞)上单增②F(x)=xf(x),a>0、b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f(x)在(0,+∞)上单增F(a+b)>af(a)+bf(b)=F(a)+F(b)1．函数y＝f(x)满足①f(a+b)＝f(a)·f(b)，②f
18、(4)＝16,m、n为互质整数，n≠0求f()的值f(0)=f(0+0)=f(0)·f(0)=f2(0)f(0)=0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0)·f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2)·f(2)=f(1
