抽象函数的周期性探析

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1、抽象函数的周期性探析　　【摘要】抽象函数是一些没有给出具体解析式的函数，因而比较抽象，难以理解，本文总结了抽象函数的周期性与递推式、对称性、奇偶性的几个常见的结论.　　【关键词】抽象函数；周期函数；递推式；对称性；奇偶性　　抽象函数是相对于具体函数而言的，它没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征或性质的式子的一类函数.因为抽象，难以理解，它是高中数学函数部分的难点，所以解抽象函数的题目需要有严谨的逻辑推理能力、抽象思维能力以及函数基本知识灵活运用的能力.　　近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目，大多考查的是

2、函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中学生对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难，所以本文尝试归结抽象函数的周期性问题的几个常见的结论并给予简单的证明，并通过几个例题说明简单的应用，供大家参考.　　一、三个结论　　结论1（递推式与周期关系结论）　　（1）若f（x+a）=f（x+b），则T=

3、a-b

4、；{∵f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）}　　（2）若f（x+a）=-1f（x），则T=2

5、a

6、；{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1f（x+a）=f（x）}6　

7、　（3）若f（x+a）=-f（x），则T=2

8、a

9、；{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=f（x）}　　（4）若f（x+a）=1+f（x）1-f（x），则T=4

10、a

11、.　　{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x）+1+f（x）1-f（x）-1-f（x）=2-2f（x）=-1f（x），　　∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-1f（x+2a）=f（x）}　　结论2（对称性与周期关系结论）　　

12、（1）若f（x）关于x=a及x=b对称，则T=2

13、b-a

14、；　　证明：∵f（x）关于直线x=a和x=b对称，　　∴f（x）=f（2a-x），x∈R，f（x）=f（2b-x），x∈R，∴f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，　　将上式的-x以x代换得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，　　∴f[x+2（b-a）]=f[（x-2a）+2b]=f[（x-2a）+2a]=f（x），x∈R.　　∴f（x）是R上的周期函数，且2a-b是它的一个周期.　　（2）f（x）关于x=b及Ma，0对称，则T=4

15、b-a

16、；　　证明：∵f

17、（x）关于点M（a，0）对称，f（2a-x）=-f（x），x∈R，　　∵f（x）关于直线x=b对称，∴f（x）=f（2b-x），x∈R，　　∴f（2b-x）=-f（2a-x），x∈R，　　将上式中的-x以x代换，得f（2b+x）=-f（2a+x），x∈R，　　∴f[x+4（b-a）]=f[2b+（x+2b-4a）]=-f[2a+（x+2b-4a）]=-f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.6　　∴f（x）是R上的周期函数且4b-a是它的一个周期.　　（3）f（x）关于点Ma，0和Nb，0对

18、称，则T=2

19、b-a

20、.　　证明：∵f（x）关于M（a，0），N（b，0）对称，　　∴f（2a-x）=-f（x），x∈R；且f（2b-x）=-f（x），x∈R.　　∴f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，　　将上式中的-x以x代换，得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，　　∴f[x+2（b-a）]=f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.　　∴f（x）是周期函数且2b-a是它的一个周期.　　结论3（奇偶性与周期关系结论）　　（1）f（x）是偶函数且关于直线x=a对称，则T=2

21、a

22、；　

23、　证明：∵f（x）是偶函数，故f（x）关于x=0对称，又关于x=a对称，　　∴由结论2中的（1）可知周期为T=2a-0=2a.　　（2）f（x）是奇函数且关于直线x=a对称，则T=4

24、a

25、；　　证明：∵f（x）是奇函数，　　∴f（x）关于点（0，0）对称，又∵f（x）关于x=a对称，　　∴由结论2中的（2）可知周期为T=4a-0=4a.　　二、应用举例　　例1（2001年高考数学（文科）第22题）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称.对任意x1，x2∈[0，12]都有f（x1+x2）=f（x1）?f（

26、x2）.　　（Ⅰ）设f（1）=2，求f12，f14；6　　（Ⅱ）证明f（x）是周期函数.　　分析f（x）是偶函数的实质是f（x）的图像关于直线x=0对称，又f（x）的图像关于x=1对称，由结论2中的（1）可得f（x）是周期函数.　　解析（Ⅰ）解略.　　（Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（