函数周期性和抽象函数赏析

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1、函数周期性和抽象函数赏析浙江省瑞安第二中学谢作相联系方式15868523805周期性是函数的一个重要性质，是学习函数的一个难点，大部分学生解答此种题型束手无策，下面总结这个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的相关习题。一、知识点归纳（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期．（2）最小正周期：对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期．（三角函数中若没有特别指出，周期一般都是指最小正周期）二、几个重要的结论1、设函数f(x)对任意实数x,都有,

2、则2T是的一个周期.2、设函数f(x)对任意实数x,都有,则2T是的一个周期3、设函数对任意，都有,则2T是的一个周期4、设函数对任意，都有,则4T是的一个周期5、若偶函数满足（），则2T是的一个周期6、若奇函数满足（），则4T是的一个周期7、形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的周期为以上可作为结论记，注意与的区别证明题1：已知函数f(x)对任意实数x,都有,求证:2T是f(x)的一个周期.证明：因为所以所以f(x)是以2T为周期的周期函数.证明题2：3已知函数f(x)对任意实数x,都有,求证:2T是f(x)的一个周期证明：因为所以所以f(x)是以2T为周期的周期函数.证明

3、6：如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。证明：因为f(x＋T)＝f(x-T)所以所以f(x)是以4T为周期的周期函数.其他请读者自行证明三、试试看，练练笔1．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为__________．2．函数对于任意实数满足条件，若则__________．3．已知定义在实数集上的奇函数始终满足，且当时，，求的值．4、设偶函数对任意，都有，且当时，,则的值为__________．5．函数是定义在上的偶函数，又是以2为周期的周期函数，如果在上是减函数，则在上是（　　）3A．增函数　　B．先减后增的函数　　C．减函数　　D．先增后减的函数附参考答案

4、：1:12:3:4:5:A因为函数是定义在上的偶函数，又在上是减函数所以在上是增函数，又因为周期为2，所以在上是增函数3