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1、抽象函数的周期和对称性一、关于周期性的结论1.型：的周期为。2.型：的周期为。证明：。3.型：的周期为。证明：4.型：的周期为。证明：。5.型：的周期为。证明：，∴。6.两线对称型：函数关于直线、对称，则的周期为。证明：。77.一线一点对称型：函数关于直线及点对称，则的周期为。证明：，所以8.两点对称型：函数关于点、对称，则的周期为。证明：。二、关于对称性的结论（1）若，则关于对称（2）若，则关于对称（3）若，则关于对称7习题1.设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时，.2.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是
2、减函数，则（）A.在区间上是增函数，在区间上是增函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是减函数3.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则.4.已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）A.B.C.D.5.已知偶函数满足，且当时，，则的值等于（）A.B.C.D.6.设为上的奇函数，且，若，，则的取值范围是.7.函数对于任意实数满足条件，若，则等于（）A.B.C.D.8.已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的，都有；7③函数的图象关于轴对称。
3、则下列结论正确的是（）A.B.C.D.9．定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：①是周期函数；②的图象关于直线对称；③在上是增函数；④其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）。10．函数满足是偶函数，又，为奇函数，则.11．设是上的奇函数，，当时，，则=（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.512．已知定义在R上的奇函数满足,当时,,则=_____.13．对于函数定义域为而言,下列说法中正确的是________.(填序号)①函数的图像和函数的图像关于对称.②若恒有,则函数的图像关于对称.③函数的图像可以由向左移一
4、个单位得到.④函数和函数图像关于原点对称.14．定义在上的函数,对任意都有,当时,,则________.715．已知是以2为周期的函数,且当时,,则___.16．定义在上的函数满足,且当时,,则____________.17．已知函数是奇函数,且当时,,则当时,的解析式为__.18．若函数的图象关于点(1,1)对称,则实数=___________.19．设函数是定义在上的偶函数,当时,.若,则实数的值为_______;20．已知函数的图像过点,则函数的图像关于轴的对称图形一定过点_______________.21．设函数是周期为5的奇函数,
5、当时,,则=________.22．对于函数,给出下列命题:(1)在同一直角坐标系中,函数与的图象关于直线对称;(2)若,则函数的图象关于直线对称;(3)若,则函数是周期函数;(4)若,则函数的图象关于点(0,0)对称.其中所有正确命题的序号是_____________.23．若函数是周期为5的奇函数,且满足,则=_____.24．已知是定义在上的奇函数,且,当时,,则____25．设函数f(x)＝
6、x＋2
7、＋
8、x－a
9、的图像关于直线x＝2对称，则a的值为________．726．已知函数是定义在上的偶函数,对任意的都有成立,若,则=____
10、________.27．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值;(2)用定义证明在上为减函数;(3)若对于任意,不等式恒成立,求的取值范围.7答案：1、；2、B；3、04、B5、D6、或7、D8、A9、①②④；10、2003.1112、13、②④14、,分析:周期为315、4.16、17.;18、119、20、(4,-2)21、22、③④23、24、—325、626、7
