抽象函数的对称性与周期性.doc

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1、抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性定理1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)=f(b－x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称。推论1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)=f(a－x)　　　（或f(2a－x)=f(x)),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。推论2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)=f(a－x)，又若方程f(x)=0有n个根，则此n个根的和为na。定理2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)+f(b－x)=c，（a,b,c为常数），则函数y=f(x)的图象关于点对称。

2、推论1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)+f(a－x)=0，（a为常数），则函数y=f(x)的图象关于点（a，0）对称。定理3.若函数y=f(x)定义域为R，则函数y=f(a+x)与y=f(b－x)两函数的图象关于直线x=对称。定理4.若函数y=f(x)定义域为R，则函数y=f(a+x)与y=c－f(b－x)两函数的图象关于点对称。性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)=－f(b－x)成立，则y=f(x)的图象关于点（,0）对称。性质2：函数y=f(x－a)与函数y=f(a－x)的图象关于直线x=a对称。性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a－x)的图象

3、关于直线x=0对称。性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b－x)图象关于点（,0）对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=f(x－b)，则y=f(x)是以T=a＋b为周期的周期函数。定理6.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=－f(x－b)，则y=f(x)是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。定理7.若函数y=f(x)的图象关于直线x=a与x=b（a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b－a)为周期的周期函数。定理8.若函数y=f(x)的图象关于点（a,0)与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=

4、2(b－a)为周期的周期函数。定理9.若函数y=f(x)的图象关于直线x=a与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=4(b－a)为周期的周期函数。性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；性质2：若函数f(x)满足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f

5、(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，则函数有周期4(a－b).特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。3例1．已知定义在上的奇函数满足，则的值为例2．已知函数是周期为的函数，当时，，当时，的解析式是例3.设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是例4.设是定义在上1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.例5.在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则()A.在区间上是增函数，在

6、区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数例6．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.13．设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；3练习：1.设偶函数对任意，都有，且当时，，则2．是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解的个数的最小值是3．定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能

7、为4.已知函数为上的奇函数，且满足，当时，，则等于()5.函数对于任意实数满足条件，若，则6.已知是周期为的奇函数，当时，设则8.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则9（广东）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论3