抽象函数奇偶性对称性周期性

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1、严守俊216355813529652696《函数的奇偶性周期性对称性》第1页共12页抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于f(x)定义域

2、内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。分段函数的周期：设yf(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:yf(x),xa,b,Tba。把yf(x)沿x轴平移KTK(ba)个单位即按向量a(kT,0)平移，即得yf(x)在其他周期的图像：yf(xkT),xkTa,kTb。f(x)xa,bf(x)f(xkT)

3、xkTa,kTb2、奇偶函数：设yf(x),xa,b或xb,aa,b①若f(x)f(x),则称yf(x)为奇函数；②若f(x)f(x)则称yf(x)为偶函数。3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点A(x,y)与B(2ax,2by)关于点(a,b)对称；②点A(ax,by)与B(ax,by)关于(a,b)对称；③函数yf(x)与2byf(2ax)关于点(a,b)成中心对称；④函数byf(ax)与byf(ax)关于点(a,b)成中心对称；⑤函数

4、F（x,y)0与F(2ax,2by)0关于点(a,b)成中心对称。11⑥记住对称中心为：（0，0）、,、(a,a)的函数22yf(x)的特征。（2）轴对称：对称轴方程为：AxByC0。//2A(AxByC)2B(AxByC)①点A(x,y)与B(x,y)B(x,y)关于直线2222ABABAxByC0成轴对称；2B(AxByC)2A(AxByC)②函数yf(x)与yf(x)关于直线2222ABABAxByC0成轴对称。2A(AxByC)2B(A

5、xByC)③F(x,y)0与F(x,y)0关于直线2222ABABAxByC0成轴对称。严守俊216355813529652696《函数的奇偶性周期性对称性》第2页共12页④记住对称轴为：Y轴（X=0）、X轴（y=0）、直线yx、直线xa、直线yb的函数yf(x)的特征。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数yf(x)图象本身的对称性（自身对称）若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。(ax

6、)(bx)ab1、f(ax)f(bx)yf(x)图象关于直线x对称22推论1：f(ax)f(ax)yf(x)的图象关于直线xa对称推论2、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称推论3、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称ab2、f(ax)f(bx)2cyf(x)的图象关于点(,c)对称2推论1、f(ax)f(ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(

7、a,b)对称推论3、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数yf(x)与yf(x)图象关于Y轴对称2、奇函数yf(x)与yf(x)图象关于原点对称函数3、函数yf(x)与yf(x)图象关于X轴对称14、互为反函数yf(x)与函数yf(x)图象关于直线yx对称ba5.函数yf(ax)与yf(bx)图象关于直线x对称2推论1:函数yf(ax)与yf(ax)图象关于直

8、线x0对称推论2:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称推论3:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）