如何快速解答抽象函数对称性与周期性问题

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1、如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题？高考对抽象函数的考察中经常结合对称性与周期性一同考察，下面我们看看函数的对称性与周期性究竟有什么样的关系？若函数的图象关于直线对称，也关于直线对称，则是以为周期的周期函数证明：因为的图象关于直线对称，所以有即，同理。所以有，即有所以函数是以为周期的周期函数.定理1：一般地我们有，若函数满足对于任意的实数都有和都成立（其中），即函数的图象关于两条直线和都对称，则是周期函数，且周期是.。同样的思路我们也可以得出：定理2：若函数的图象关于直线对称，关于点（其中）中心对称，那么函数是周期函数，且周期是证明

2、因为关于直线对称所以有，即有：又关于点对称所以有式子成立，即有：由上述两个式子得到：，即有：令为所以又得到所以有：所以是周期函数，且周期是。推论若函数的图象关于直线和原点对称，则函数是周期函数，且周期为.定理3：若函数的图象关于点，关于点（其中）中心对称，那么函数是周期函数，且周期是证明：由的图象关于点对称，得到，即：同理可得：所以有，即：所以是周期函数，且周期是经过上面的分析我们知道，一个函数只要关于两条直线，或者两个点，或者一条直线一个点对称，那么这个函数一定是周期函数。熟悉的理解上述3个定理有助于我们快速解答高考题。下面举两道高考题

3、来看看上述定理的应用。例题1.（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则()(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数解:与都是奇函数，函数关于点，及点对称，根据定理3，函数是周期的周期函数.，所以有即是奇函数。故选D例题2.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则解:因为是定义在R上的奇函数，满足,所以,所以,函数图象关于直线对称，根据定理2函数是以8为周期的周期函数，且,,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-

4、2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)