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1、七、周期性与对称性问题编号周期性对称性1→T=2→对称轴Û是偶函数;→对称中心(a,0)Û是奇函数2→T=→对称轴;→对称中心;3f(x)=-f(x+a)→T=2f(x)=-f(-x+a)→对称中心4→T=2→对称中心5f(x)=±→T=2f(x)=b-f(-x+a)→对称中心6f(x)=1-→T=3结论:(1) 函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2
2、a-b
3、(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且
4、T=2
5、a-b
6、(3) 函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=4
7、a-b
8、(4)应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称;y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称(可以简单的认为:一个函数的恒等式,对应法则下的两式相加和的一半为对称轴:两个同法则不同表达式的函数,对应法则下的两式相减等于0,解得的x为对称轴)例1:①已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=–f(x),则f(6)的值
9、为(B)A.–1B.0C.1D.2解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又T=4,所以f(6)=f(2)=–f(0)=0。②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x),则f(2x)的图像关于对称。(x=1/2)练习:(2010重庆)已知函数满足:,,则=_____________.解析:取x=1y=0得法一:通过计算,寻得周期为6法二:取x=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)联立得f(n+2)=—f(n
10、-1)所以T=6故=f(0)=例2.已知函数y=f(x)满足,求的值。解:由已知式知函数的图象关于点(0,1001)对称。据原函数与其反函数的关系,知函数y=f-1(x)的图象关于点(1001,0)对称,所以,即=0例3.奇函数f(x)定义在R上,且对常数T>0,恒有f(x+T)=f(x),则在区间[0,2T]上,方程f(x)=0根的个数最小值为()CA.3个B.4个C.5个D.6个解:∵f(0)=0→x1=0,又f(2T)=f(T)=f(0)=0→x2=T,x3=2T.又因为令x=0得,∴=0
11、.(本题易错选为A)例4.①f(x)满足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调。求a的值。解:∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)关于(3,0)对称又∵f(x)=f(2-x)∴f(x)关于x=1对称∴T=8∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∴a=6②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,函数y
12、=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为常数且aR) (1)求f(x); (2)是否存在a[2,6]或a(6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 解:(1)设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点,则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)). ∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称. ∴点N(2-x,f(
13、x))在y=g(x)图象上. 由此得f(x)=g(2-x)(利用结论4的命题易得这一结果:y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称) 设x[-1,0],则2-x[2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3 又f(x)为偶函数f(-x)=f(x),x[-1,1]. ∴当x[0,1]时,f(x)=2ax-4x3 (2)注意到f(x)为偶函数,只须研究f(x)在[0,1]上的最大值. (ⅰ)当a(2,6]时,由0x1得a-2x2>0, f(x)=2x(a-2
14、x2)=≤=(当且仅当4=a-2,即x=[0,1]时等号成立). 由题意知,f(x)的最大值为12,令=12得=486>,∴a>6,这与a(2,6]矛盾,故此时满足条件的a不存在. (ⅱ)当a=2且0≤x≤1时,f(x)=4x(1-) 同理可证f(x)=(当且仅当2=1-,即x=时等号成立),也与已知矛盾. (ⅲ)当a>6时,设0,则f()-f()=2a(-)-4(-)=2(-)[a-2(++)],由题设0<++<3,a>6 ∴a-2(++)>0 又-<0 ∴f()-f()<0即f()