抽象函数对称性和周期性.doc

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1、抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性。性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：　　　（1）f(a＋x)＝f(a－x)。　　　（2）f(2a－x)＝f(x)。　　　（3）f(2a＋x)＝f(－x)。性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：　　　（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。　　　（2）f(2a－x)＝－f(x)。　　　（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。　　y＝f

2、(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。二、复合函数的奇偶性。性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。　　复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；　　复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。　　复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f

3、(x)关于点(a,0)中心对称。三、函数的周期性。性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下　　列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2

4、a

5、是它的一个周期。　　　①f(x＋a)＝f(x－a)，　　　②f(x＋a)＝－f(x)，　　　③f(x＋a)＝1/f(x)，　　　④f(x＋a)＝－1/f(x)。四、函数的对称性与周期性。性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为　　　周期函数，且T＝2

6、a－b

7、。性质2、若函数y＝f(x)同时关

8、于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数　　　f(x)必为周期函数，且T＝2

9、a－b

10、。性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，　　　则函数f(x)必为周期函数，且T＝4

11、a－b

12、。五、复合函数的对称性。性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线　　　x＝(b-a)/2轴对称。性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点　　　((b-a)/2,0)中心对称。推论1、已知函数y＝f(x)，则复

13、合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴　　　轴对称。推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点　　　中心对称。六、巩固练习1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝　　f(6－x)的图象（ ）。　　　A．关于直线x＝5对称  　   B．关于直线x＝1对称　　　C．关于点（5，0）对称   　 D．关于点（1，0）对称2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，　　f(x)＝x，则f(7

14、.5)=（  ）。　　A．0.5        B．－0.5        C．1.5          D．－1.53、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，　　f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（  ）。　　A．偶函数，又是周期函数    B．偶函数，但不是周期函数　　C．奇函数，又是周期函数    D．奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T＝2。