抽象函数的奇偶性、对称性和周期性.doc

《抽象函数的奇偶性、对称性和周期性.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、抽象函数的奇偶性、对称性和周期性【自我诊断】1.（1）在函数f(x)对于定义域内的任取x1，都有x2满足x1＋x2＝0，且f(x1)＝f(x2)恒成立，则该函数是____函数；（2）在函数f(x)对于定义域内的任取x1，都有x2满足x1＋x2＝0，且f(x1)＝－f(x2)恒成立，则该函数是____函数．【答案】（1）偶；（2）奇．2．已知f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)对一切实数x，y恒成立，且f(0)≠0，判断f(x)的奇偶性．【答案】偶函数．【解析】令x＝0，y＝0，代入式子f(

2、x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)可得2f(0)＝2f(0)·f(0)，且f(0)≠0，所以f(0)＝1．令x＝0，代入式子f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)可得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，化简得f(－y)＝f(y)．所以f(x)是偶函数．【反思】背景函数f(x)＝cosx．3.函数f(x)的值域不是单元素集合，定义域为R，且对一切实数x，y恒有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，且f(1)＝0，则f(2016)的值

3、是_________．【解析】令x＝＋1，y＝，代入已知式得f(u＋2)＋f(u)＝2f(u＋1)f(1)＝0，所以f(u＋2)＝－f(u)．所以f(u＋4)＝f[(u＋2)＋2]＝－f(u＋2)＝f(u)．所以f(x)是周期为4的周期函数．所以f(2016)＝f(4×504＋0)＝f(0)．在f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)中，令x＝y，则2f(2x)＝2f(2x)f(0)恒成立，所以f(0)＝1．所以f(2016)＝1．【反思】背景函数f(x)＝cosx．4.已知函数f(x)（

4、x∈R）满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝

5、x－2x－3

6、与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1＋x2＋…xm的值为（）．（A）0（B）m（C）2m（D）4m【答案】B．【解析】因为y＝f(x)，y＝

7、x－2x－3

8、都关于直线x＝1对称，所以它们的交点也关于直线x＝1对称．当m为偶数时，所求的和为2×＝m；当m为奇数时，所求的和为2×＋1＝m．因此选B．5.已知函数f(x)（x∈R）满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(

9、x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1＋y1＋x2＋y2＋…xm＋ym的值为（）．（A）0（B）m（C）2m（D）4m【答案】B．【解析】由f(－x)＝2－f(x)，得f(x)关于点(0，1)对称，函数y＝＝1＋也关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点也关于点(0，1)对称，将除点(0，1)外的其余交点两两配对，对于每一组对称点有xi＋xj＝0，yi＋yj＝0，所以x1＋y1＋x2＋y2＋…xm＋ym＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝0＋2×＝m．6．设定义

10、在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)，证明f(x)是周期函数．【证明】由已知f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)，得f(x＋1)＝f(x＋2)－f(x＋3)，上面两式相加，得f(x)＝－f(x＋3)，由此式可得f(x＋3)＝－f(x＋6)，从而，得f(x)＝f(x＋6)．所以f(x)是周期为6的函数．7.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，证明f(x)是周期函数．【证明】函数y＝f(x)关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)，x∈R．又由f(x)

11、是偶函数得f(x)＝f(－x)，所以f(－x)＝f(2－x)，x∈R．将上式中的－x用x代换，得f(x)＝f(2＋x)，x∈R．这表明f(x)是以2为周期的周期函数．【跟踪训练】1．若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对一切实数x，y恒成立，且不恒等于0，试判断函数f(x)的奇偶性．【答案】奇函数．2.函数f(x)的定义域为全体实数，对任意实数a，b都有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且存在c＞0，使得f()＝0，求证：f(x)是周期函数．【答案】f(x)是以2c为周期的周期函数．