周期性与抽象函数.ppt

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1、函数的周期性和抽象函数1.定义：若对任意的x，都有f(x+T)=f(x)(T≠0),则说函数f(x)是周期函数，T是它的周期；2.若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),(a>b),则f(x)是以T=a-b为周期的周期函数；3.若f(x+a)=-f(x),则f(x)是以T＝2a为周期的周期函数；4.若f(x+a)=b/f(x),则f(x)是以T=2a为周期的周期函数6.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(a+x)=f(a-x),又关于直线x=b对称即f(b+x)=f(b-x)(a>b),则f(x)是以T=2a-2b为周期的周期函

2、数.5.若f(x)满足f(x+a)=[1-f(x)]]/[1+f(x)],则f(x)是以T＝2a为周期的周期函数7.若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称；特别地，若有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x+a对称.7.若函数f(x)的图像关于点M(a,0)和点N(b,0)都成中心对称，则f(x)是以T=2(a-b)为周期的周期函数.如f(x)=sinx点O(0,0)和点(π,0)对称,它的周期为2(π-0)=2π注：f(x)的图像关于点M(a,0)对称的条件是f(x)=-f(

3、2a-x)9.熟记函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=Asin(ωx+φ)的周期.8.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(x)=f(2a-x),又关于点M(b,0)对称,即f(x)=-f(2b-x),则f(x)是以T=4(a-b)为周期的周期函数如f(x)=sinx关于x=π/2对称，又关于点O(0,0)对称，它的周期为4(π/2-0)=2π1.已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2+x)=f(2-x)对x∈R均成立，求证：f(x)为偶函数；2.已知函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x)对x∈R均成立，且f(x)

4、为偶函数,求证f(x)是周期函数.3.已知偶函数f(x)的周期为4，求证：f(x)的图象关于直线x=2对称4.设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2.求f(x)在Ik上的解析表达式已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且0

5、x+2)(D)f(x+3)是奇函数D1.若函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y),则此函数可以是f(x)=kx;2.若函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)＋m,则此函数可以是f(x)=kx+b;抽象函数例1.若函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，y>0,证明(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是增函数3.若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(x)+f(y)=f(xy),则此函数可以是f(x)=logax;另：对数函数也可这样给出：f(x)-f(y)=f(x/y)

6、例2.若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(x)+f(y)=f(xy),且x>1时y>0,证明f(x)是增函数4.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒为0,则此函数可以是f(x)=ax5.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy),则此函数可以是f(x)=xn.另：指数函数也可这样给出：f(x)/f(y)=f(x-y)例3.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒为0,且x<0时，y>1.证明f(x)是减函数四、练习题二：5.已知f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f

7、(x)+f(y),（1）求证f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,求f(24);（3）若x>0时，f(x)<0,且f(1)=-0.5,求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.[-3,1]6.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),又f(2)=1且x>1时，f(x)>0;(1)证明f(1)=0;(2)求证:f(x/y)=f(x)-f(y);（3）求f(4)的值；(4)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.f(4)=23

8、x)≠0,f(1)=2,x>0时，f(x)>1，且对任意实数x,都有f(x)f(y)=f(x+y),解不等式f(x2)f(4x-2)<8-5