周期性和抽象函数

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1、周期性和抽象函数1．周期函数：设函数，，如存在非零常数T，使得对任何，都有，则函数为周期函数，T为的一个周期。(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则

2、函数y=f(x)是周期为2的周期函数；（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数；2．处理抽象函数的六大策略：（1）递推（2）换元（3）联用（4）图象（5）赋值例1．（1）（96全国15）设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于()A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5（2）设，且，，（3）设，且，_________（4）设，且，，，式是_____________（5）函数都有=（）....解：（1）解：f(7.5)=f(5.5+2)=－f

3、(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.（2）解法1：设yA3CE2BD　　　　　　　x－1　０１２３解法2：利用偶函数和周期性作出右图A（－１，３）　Ｂ（０，２）　　　　（3）解：①　　②将②代入①，得　　下同例题（4）解法１：　　　　　　.解法2：　　，　，下同例题.（5）解：.令.当，且.上为增函数评析：解抽象函数问题的方法，可概括为十个字：换元（例题解法1等）、递推（变式1）、联用（变式2的解法2）、图象、赋值（变式3）.例2．定义在R上的函数y=f(x)是偶函数，且满足

4、f(x+2)也是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式.[解析]由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，∵f(x)为偶函数，∴当x∈[－2，0]时，f(x)=f(－x)=－2x－1,②若x∈[－4，－2，∴4+x∈[0，2，∵f(2+x)+f(2－x)，∴f(x)=f(4－x)，∴f(x)=f(－x)=f[4－（－x）]=f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7;综上，例3．已知函数f(x)的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），且满足条件：①f(x·y)=f(x)+f(y)，②f(2)=

5、1，③当x>1时，f(x)>0，（1）求证：f(x)为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式f(x)+f(x－3)≤2的解集.[解析]（1）在①中令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0,令x=y=－1,得f(1)=f(－1)+f(－1)f(－1)=0,再令y=－1,得f(－x)=f(x)+f(－1)f(x),∴f(x)为偶函数；（2）在①中令先讨论上的单调性，任取x1、x2，设x2>x1>0，由③知：>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在（0，+∞）上是增函数，∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)在（－∞，0）上是减函数；（3）∵f[x(x－3)]=

6、f(x)+f(x－3)≤2，由①、②得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(－4)，1）若x(x－3)>0,∵f(x)在（0，+∞）上为增函数，由f[x(x－3)]≤f(4)得2）若x(x－3)<0,∵f(x)在（－∞，0）上为减函数；由f[x(x－3)]≤f(－4)得∴原不等式的解集为：练习：1.（2001北京春2）函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（）CA.f（xy）=f（x）·f（y）B.f（xy）=f（x）+f（y）C.f（x+y）=f（x）·f（y）D.f（x+y）=f（x）+f（y）2．2．如果且，则（）CA、2003B、1001C、

7、2004D、20023．3．若的最小正周期为2T，且有对一切实数x恒成立，则是（）BA、奇函数B、偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、非奇非偶函数4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x+2)=,当2≤x≤3，f(x)=x，则f(5.5)=（D）A．5.5B．－5.5C．－2.5D．2.55.定义在R上的函数f(x)不是常数函数，且满足ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ＋１），ｆ（１＋ｘ）＝ｆ（１－ｘ），则ｆ（ｘ）（）BA.是奇函数也是周期函数B.是偶函数也是周期函数C.是