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《高考数学复习专题六———抽象函数问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题六、抽象函数问题一定义：是指概括总结出一类函数所具有的共同特性，而没有给出具体的解析式(或图象)的一类函数，中学阶段的抽象函数，一-般是以所学的基本函数为背景，概括其共同的本质特征而形成的。因此，在学习屮要注意总结概括基本函数的共同特征，从特殊到一般，从具体到抽象，建立抽象函数与具体函数的对应关系。二、举例说明：到目前为止常见抽象函数与我们已学过的具体函数的对应关系如下表：抽象函数模型具体函数模型(举其屮一例)f(x±y)=f(x)±f(y)y=kx--b(kH0)+x)=一x)fM=f(2m一x)y=a(x-m)2+nf(x+y)=心)亠f(y)y=ax(a>
2、0,aH1)f(xy)=f(x)+f(y)Y/(-)=f(x)-f(y)yy=log6/x,(d>0,dHl)二、例题演练题型一、抽象函数的求值问题例1.已知定义域为疋的函数f(X),同时满足下列条件：①/(2)=1,/(6)=
3、；②/(Qy)=/(x)+/(y),求f(3),f(9)的值。解：取兀=2,y=3,得/(6)=/(2)+/(3)14因为/(2)=1,/(6)=-,所以/(3)=--又取兀=y=3QW/(9)=/(3)+/(3)=--【评注】通过观察己知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2,y=3,这样便把已知条件/(2)=1,/(6)=-与欲求的f(3)沟
4、通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。题型二、抽象函数的单调性问题判断抽象函数的单调性，若能从“源头”入手，设法找出此类函数的原型函数.据原型函数的单调性先作出判断，再类比其论证方法，即可轻松获解.例2、已知函数/(兀)对任意实数兀，y均有f^x+y)=/(x)+/(y)•且当兀>0时，/(劝>0,试判断/(劝的单调性，并说明理由.分析：根据题目所给条件，原型函数为y=kx,(£>0)・此为增函数.类比其证明方法可得解：设Xj,x2GR,且兀]V%2，则兀2一兀1>0，故/(X2-X])>0・・•・/(兀2)一/(兀1)=•/!(兀2一兀1)+兀I]一/(兀1)=/
5、(x2-x1)+/(x1)-/(x1)=/(x2-X])>0•・・・/(州)1时，/(X)<1.试判断/⑴在(0,+oo)上的单调性，并说明理由.分析:此函数的原型函数可以为y=显然此函数在(0+°°)上是减函数.解：对于氏(o,+oo)有/(%)=-V^)=[/(V^)]2>o又/(x)H0,・•・/(x)>0设坷，x2G(0,+oo),且x{1,则/Ui)/(西)X=/(」)<1,又/(X,)>0・•・
6、/(X,)>/(X2),故/⑴在(0,+oo)上为减函数.例4、已知函数f(x)对任意x9yeR9总有/(兀)+f(y)=f(x+y),且当兀>0时,3(1)求证/(兀)在R上是减函数；(2)求/(兀)在［-3,3］上的最大值和最小值。解(1)令兀=y=0,得f(0)=0令兀可得/'(兀)+/(_x)=于(0)=0即/(-x)=-f(x),在R上任取兀10.又T兀>0时，f(x)<0>f(x7—Xj)<0,即/(兀2)-/a)V0・・・f(Xt)>f(X2)由定义可知/(
7、劝在R上为单调递减函数。(2)Vf(x)在R上是减函数，・•・/(劝在［-3,3］上也是减函数。・・・/(-3)最大,/(3)最小。27(3)=/(2)+/(1)=/(I)+/(I)+/(l)=3x(--)=-2.・•・/(-3)=-/⑶=2.即/(兀)在［-3,3］上最大值为2,最小值为-2.【评注】抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。题型三、抽象函数的奇偶性问题例5>已知/(尢)的定义域为R,对任意兀,ywR,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)•f(y),且/(0)H0.(1)求证：/(0)=1；(2)求证：y=f(x)为偶函数。解(1)由题意
8、f(x+y)+f(x-y)=2/(x)•/(y).令兀二y=0,则/(O)+/(O)=2/(0)•/(O),则厂(o)*(o).・・・/(O)工0,・•・/(O)=1.(2)令*0,则f(y)+f(-y)=2/(0)/(y)=2f(y).・•・f(-y)=f(y)・・•・函数尸/(x)是偶函数。【评注】对于这类问题的求解，充分运用兀、y为任意实数这一条件，对八y取定一些特殊值，如兀=y=0,y=-兀等题型四、抽象函数的周期性问题例6、设/'(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线X"对称，对任意西、兀2“0,£］都有/3+兀2)=/3)・/(兀2)
