高考抽象函数专题.doc

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1、抽象函数专题几类抽象函数模型抽象函数模型适用模型的初等函数f(x＋y)＝f(x)＋f(y)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)f(xy)＝f(x)f(y)或f()＝幂函数f(x)＝xnf(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)f(xy)＝f(x)＋f(y)或f()＝f(x)－f(y)对数函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)f(x＋T)＝f(x)正余弦函数f(x)＝sinx，f(x)＝cosxf(x＋y)＝正切函数f(x)＝tanx练习题1．定义域为(0，＋¥)的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)

2、＋f(y)，若f(4)＝2，则f()的值为_________．答案：．解：因为f(4)＝f(2)＋f(2)，f(2)＝f()＋f()，所以f(4)＝4f()，f()＝．2．函数f(x)满足f(x＋y2)＝f(x)＋2[f(y)]2且f(1)≠0，则f(2018)的值为_______．答案：1009．解：f(0)＝0，f(1)＝，f(x＋1)＝f(x)＋，f(2018)＝f(1)＋2017×＝1009．3．(1)函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，若f(1)＝1，则f(8)＝A．－1B．1C．19D．43答案：D．解：因为

3、f(1)＝1，y＝1代入f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，得f(x＋1)－f(x)＝x＋2，因此：f(2)－f(1)＝3f(3)－f(2)＝4………f(8)－f(7)＝9累加，得f(8)＝43．(2)函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，若f(1)＝1，则f(－8)＝A．－1B．1C．19D．43答案：C．解：因为f(1)＝1，y＝1代入f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，得f(x＋1)－f(x)＝x＋2，因此：f(1)－f(0)＝2f(0)－f(－1)＝1f(－1)－f(－2)＝0f(－2)－f(－3)

4、＝－1f(－3)－f(－4)＝－2f(－4)－f(－5)＝－3f(－5)－f(－6)＝－4f(－6)－f(－7)＝－5f(－7)－f(－8)＝－6累加，得f(－8)＝19．另外：f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－x2＋1f(0)＝f(x)＋f(－x)－x2＋1f(x)＋f(－x)＝x2－24．定义在R上的函数f(x)满足f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法正确的是A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数答案：C解：x1＝x2＝0代入f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1

5、，得f(0)＝－1．x1＝x，x2＝－x代入f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，得f(x)＋f(－x)＝－2，f(x)图象关于点(0，－1)对称，所以f(x)＋1为奇函数．5．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时x的取值范围是A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案：B解：2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以

6、有解得8

7、f(x)＝．(2)设函数f(x)满足f(x)－2f()＝x(x≠0)，求证：

8、f(x)

9、．证明：因为f(x)－2f()＝x①，所以f()－2f(x)＝②．②×2得2f()－4f(x)＝③．①＋③得f(x)＝－－，

10、f(x)

11、＝＋．8．(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，设f(3)＝log23．(1)判断函数的奇偶性；(2)若f(k3x)＋f(3x－9x－4)<0，求实数k的取值范围．解：(1)取x＝y＝0代入f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，得f(0)＝0．取y＝－x代入f(x)＋f(－x)＝f(0)，得

12、f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．(2)奇函数，，，所以，是定义在上的单调函数，所以函数在上的单调递增函数，奇函数，不等式等价于，因此，即