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1、函数专题五——抽象函数抽象函数指的是没有给出具体函数表达式的函数。在习题小一般只给出函数的局部性质，在处理吋往往从两个方面进行考虑：一、最基本的代数知识(定义、性质等)；二、作函数示意图。一、基础部分(一)、定义域1、若函数y=f(x)的定义域是［一2,2］,则函数y=f(x+l)+f(x—1)的定义域为2、已知函数f(log3x)的定义域为［3,11］,求函数f(x)的定义域。小结：这类问题中要搞清两个概念：1、定义域始终指的是x的取值范围;2、函数y=f(t)与y=f(x)同是一个函数。练:1、若函数y=f(x)的定义域是［0,2］,贝9函数y=f
2、(2x+l)・f(2x—l)的定义域是2、已知y=f(x2)的定义域为［-1,1］,则y=f(2x)的定义域为(二)、求值1、己知定义域为R的函数f(x),同时满足下列条件：①f(2)=1,f(3)=-:②f(xy)=f(x)+f(y),求f(6),f(9)的值。小结：赋值法必须对比抽孝甬数參仔戎严因逑值.(仔匚缈即敎值吵.还要结令匚缈昂朝值?，再确定所赋的值。切忌盲FI赋值。练：1、设函数f(x)对任意X］、X2都有f(x1+x2)=f(x1)-f(x2),已知f(1)=2,求“丄)、f(-)o(三入解析式1、(1)已知f(10g2X)=X,求f(—
3、);(2)已知f(X+—)=x2+^r-,求f(x);Xx~(3)已知f(Vx"+1)=x+2Vx,求f(x)；(4)已知f(x)满足2f(x)+f(-)=3x,求f(x)。X2、设f(x)是定义在(—oo,+oo)上的偶函数，H.f(x+2)=f(x),xe[2,3]时，f(x)=-2(x-3)2+4,求XG[1,2]时,f(x)的解析式。小结：①、求解析式注意替换思想：②、求不同区间上的解析式关键在于转换区间；③、赋值法运用时一定要对比条件式和所求式。练:1、若f(x+1)=x2-2x,则f(x)=o2、若f(sinx)=3-cos2x,则f(x)
4、=。3、若f(cosx)=cos2x,贝iJf(sin30°)=。(四)、单调性1、设f(x)定义于实数集R上,当x>0时,f(x)>0,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)+f(y),求证：f(x)在R上为增函数。2、定义在(0,+oo)上的函数f(x)对任意的正实数x、y有f(-)=f(x)-f(y)，且当0VxV1吋，f(x)<0,y(1)求f(l)的值；(2)若f(6)=l,解不等式f(x+3)—f(丄)<2。x小结：1、单调性证明必须用定义(后期也可用导数)，避免用图象法、复合函数法、四则运算法等；2、定义法的关键在于得到结构f(x
5、,)-f(x2)o2、含“f”不等式一般用单调性或图象求解。练：1、设函数f(x)对任意实数x、y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(l)=_2,求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值。2、函数f(x)对于x>0有意义,且满足条件f(2)=l,.f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是减函数。(1)证明："1)=0；(2)若f(x)+f(x-3)>2成立，求x的取值范围。(五)、奇偶性1、两数y=f(x+l)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于对称。2、已知函数y=f(x)(xeR,且x工0),对任意不等于零的
6、实数x、y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),试判断函数f(x)的奇偶性。3、若奇函数f(x)在xg(-oo,0)±单调递减，且f(2)=0,则(x_l)f(x+l)>0的解集为()A.(—2,—1)3(1,2)B.(-3,1)(2,+oo)C.(-3-1)D.(―2,0)u(2,+oo)4、己知偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调递增，求满足f(2x-l)7、，若f(1-m)y=/(x+cz)是偶函数；/(兀+"=-/(-兀+d)f对称中心(a,0)u>y=/(兀+d)是奇函数2f(a+x)=f(b-hx)-T=zb-af(a+x)=
8、f(b-x)f对称轴x=;f(a+x)=-f(b_x)f对称中心(a；b,O);3#x)=-f
