抽象函数专题老师用

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1、抽象函数专题一、抽象函数基本类型1、线性函数型抽彖函数：由线性函数抽彖而得到的函数，如y=kx.y=kx+b.例1已知函数/(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+/(y),口当x>0时，f(x)>0,/(—l)=-2,求f(x)在区间［-2,1］上的值域。分析：由题设可知，函数/(%)是y=kx的抽象函数，因此求函数/CO的值域，关键在于研究它的单调性。解：设心<兀2，则乃一心>0・/(乃-无)>0••,・.・/(>2)=/[(乃-贡)+帀]=/(X2-心)+/(心)，・・・/(乃)-/山)=/

2、(乃-心)>0,即％2)>/&),・・./&)为增函数。在条件中，令y=~xf贝屛(°)一/(兀)+/(“)，再令x=y=0,则f(0)=2/(0),f(0)=0,故/(-x)=f(x),f(x)为奇函数，f(1)=-f(—1)=2,乂/(—2)=2/(—1)=—4,/./(X)的值域为［—4,2］。例2已知函数/&)对任意x.yeR,满足条件/(%)+/()，)=2+/(兀+y),且当x>0时，f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a2-2a~2)<3的解。分析：由题设条件可猜测：/Q)是y=x+2的抽象

3、函数，且f(x)为单调增函数，如杲这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设心5,则乃-2>0,・.・当x>0时,/(兀)>2,・・丿(>2-心)>2,则/(乃)=/［(乃-忑)+心］=/(乃-心)+/(心)-2>2+/(%!)-2=/(%!)9即，V(X)为单调增函数。../(3)=/(2+1)=/(2)+/(I)-2=[/(I)+/(I)一2]+/(I)-2=3/(1)-4•9又・・了(3)=5,(1)=3。・・./(/_2a_2)〈/(I)即-26j-3<0,解得不等式的

4、解为一1<°<3。2、指数函数型抽象函数：函数原型如：y二cl例3设函数/(兀)的定义域是(一co,+oo),满足条件：存在兀[工勺，使得/(州)工/(兀2)，对任何兀和y,/(兀+y)=/(“(y)成立。求：(1)f(0):(2)对任意值兀，判断f(x)值的正负。分析：由题设可猜测/(兀)是指数函数y=的抽象函数，从而猜想/(0)=1且/(x)>0o解：(1)令円代入/(x+y)=/(X)FO),则心)=/(X)J3),.../W[l-/(0)]=0e若八兀)=0,则对任意亦乃,

5、>这与题设矛盾,:.f(x)#),:.f(0)=lo⑵令)=网，则北宀")'/(力=[/(力『20,又由(1)知八宀0,・J(2Q>0,即f(x)>0,故对任意兀，f(x)>0恒成立。例4是否存在函数/(x),使下列三个条件：①f(兀)>0,xGM②/(a+b)=/(“/⑹，a,heN；(§y(2)=4o同时成立？若存在，求岀/(x)的解析式，如不存在，说明理山。例5已知/(兀)对一切兀，y,满足/(0)H0,f(x+y)=/(%)•f(y)f且当兀<0时,f(x)>1,求证:(1)兀>0时,0

6、;(2)f(x)在R上为减函数。证明：•・•对一切兀，yeR有/(x+y)=/O)・/(y)。且/(0)h0,令兀=y=0,得/(0)=1,现设兀〉0,则一xvO,/(—兀)>1,而/(0)=/(%)•/(-%)=!>1设X],x2G/?Ji%]

7、)-/(xI)/(x2),即/(x)为减函数。例6设/(兀)定义在实数集上，当x〉0时，/(兀)>1,H.对于任意实数X、)，，有、f(x+y)=/(

8、*)•/(y),求证：/(兀)在R上为增函数。证明：在+中取x=y=O,得/(0)=[/(0)]2若/(0)=0,令xaO,尹=0,则/(x)=0与/⑴A1矛盾所以7(0)疋0,即有/(o)i当X>0时，/W>1>0.当Xu0时，_X>0,/(-兀)>1>o/w=所以17^)>0又为x=o时，y(0)=1>o所以対任意xwR,恒有了(兀)>°设一CO0,/(乃一心)>1所以/(^2)=伽+(乃一禺)]=/(Xi)/(X2一心)>了(心)所以》=了(力在R上为增函数。评析：一般地，

9、抽彖函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。3、对数函数型抽象函数，形如：y=log,x.例7设/(兀)是定义在(0,+oo)上的单调增函数，满足/(xy)=/(%)+/(y),/⑶=1,求：(1)/(1)；(2)若f(x)+/(x~8)<2,求兀的取值范围。分析：由题设可猜测/(x)是对数函数y=log,x的抽象