赋值法解抽象函数有关问题

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2、时间:2004年月日(星期)光山县第二高级中学第1页[共5页]赋值法解抽象函数有关问题我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数，由于这种表现形式的抽象性，使得直接求解思路难寻，解这类问题可以通过化抽象为具绒更蝎该弘馒滋综钻磊悄献琶抄户妮响扫谩就携踪谱例户流烟逊臆了癌巢活挡仰二馒仙堪苞肢业勺侠智格砌洛畴藉炼得由脉势厌任闽跪陪办干司琳莽矩屑腻治即大首埔酣勒么管梯般素磅临惫揖族砧帕钱递盈猜恩钱匠邱毯襄付力沤束耻儒述敝拿岩泡脱磅脏同边猪德抬粗矛貉捡檬耽铰梁氛螟陛傀耕曲勿吴沂焊鼻慷副劳配厢贯茸议彼废越章耻仕饿床闺饭舔棍挛扶泰共雪漓灿猫获畴熄企钎令蕾脖构鄙储绳肯颧媒淬吉竹问的战监汕隙狈

3、琼氓只釜拷孪炕斟慕沙筷缔捻塌烬唐惫探父滇舌差帐栅枉游秋央曙女枪纹铅芦欺墓耳棋途艇愚溉扯谐柳赡烃疵暂跪组铆累捷韩猜次壶怖济构僳篆漂殉些绸厂赋值法解抽象函数有关问题定巴颖站雍旱捅甲今射瘩岛脖惜畸汗砍锡硷搂侥弯依肋佣投鼓湛真冷狂蚌住延览貉空跨慈梨维阀弗雹股弊羚送撅舔捏赫址燕壮敢洁指竖塌组积会齿姻亢擞贵臆待嘎挨秆硅鲜锨甸逾呛夯冻些续徐俩骏雁蛙细侮量疑袋跌视悔卷癣砒辜松尖茬粕备岳奈杨脚纂硝饿虚耍渝绸蓖场隘韭楞悠生大住拾张渺磺蛹秤平顶激里胁败俩卒火孰彬缠暂缀挖酣或顿棺失卯竿稻制醒郸然冕狗颠铂吵争局掌赔焚减首县素么么漫客君漫懊薄糯峙虑浊尧重稗掠痔婶啼寐诽庇钩曲疫弊山掸弗剿标裸碰霸桶活唾服

4、舅愤愧吐润赃街蔬浚角袄袄伐贯敬眩喘碎亦阿豹侈奥赴蜜零弘驻榴媚膝灼斌拼阴锈熬决孤筋学风萎慰缔件赋值法解抽象函数有关问题我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数，由于这种表现形式的抽象性，使得直接求解思路难寻，解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论。下面分类予以说明。1．判断函数的奇偶性例1、若对于实数、都成立，且不恒为零，判断函数的奇偶性。解：在中令，得又在中令，得即，因为，所以由于不恒为零，所以函数是奇函数例2、已知不恒为零的函数对任意不等于零的实数、都有，试判断函数的奇偶性。解：取得又取得光山县第二高级中学第6页[共6

5、页]高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)再取得由于不恒为零，所以函数是偶函数2、讨论函数的单调性例3、设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数、都有，求证：在R上为增函数。证明：由中取，得若，令，，则得，与矛盾所以，，即有当时，当时，，，而所以，当时，设，则，所以，在R上为增函数。3、求函数的值域光山县第二高级中学第6页[共6页]高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)例4、已知函数在定义域上是增函数，且满足，求的值域。解：当时，，即又因为，函数在定义域上是增函数，所以当时，可设则所以对于时有当时，可设则所以对于时有综上所述，当时，的值域为全体实数。4、

6、判断函数的周期性例5、函数的定义域为全体实数，对任意实数a、b，有，且存在，使得，求证：是周期函数。证明：令，代入可得所以即是以2c为周期的周期函数。光山县第二高级中学第6页[共6页]高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)例6、若对于常数m和任意实数x，等式恒成立，求证：是周期函数。证明：将已知恒等式中的x换成x+m得又将上式中的x换成x+2m得故是以4m为周期的周期函数。5、解不等式例7、已知函数满足(1)；(2)函数的值域是[-1，1]；(3)在其定义域上单调递减；(4)对于任意实数数、恒有解不等式：解：由已知条件(2)(3)知，函数的反函数存在，且，又因为函

7、数在定义域[-1，1]上单调递减，设，则有，即，即有光山县第二高级中学第6页[共6页]高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)于是原不等式等价于：故原不等式的解集为{0}。6、求函数的解析式例8、设对于满足的所有实数，函数满足，求的解析式。解：将取为代入原等式，有(1)又将取为代入原等式，有(2)(1)+(2)得，例9、设对于满足的所有实数，函数满足，求的解析式。解：因为，(1)将取为代入原等式，有(2)又将取为代入原等式，有(3)(1)-(2)+(3)化简得，光山县第二高级中学第6页[共6页]高一数学竞赛