【教学论文】赋值法——解决抽象函数问题的利器【教师职称评定】

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1、赋值法——解决抽象函数问题的利器在高中数学学习中，我们经常遇到一类只给出函数符号而没有具体解析式的函数问题，这就是抽象函数问题．用抽象函数可考查思维的灵活性与深刻性，是历年高考中常考常新的一个热点．高考时抽象函数往往以选择题或填空题形式出现，结合函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等进行考查．但由于没有具体解析式，很多同学感到很抽象，无从下手．其实，只要掌握了赋值法，就能比较迅速地解决这类抽象函数问题．下面请看几个例子．例1、已知函数的定义域为R，对任意的，都满足，且当时，．(1)求的值；(2)试判断的奇偶性；(3)试判断的单调性，并证明．解：(1)令，则．

2、(2)令，则有，∴为奇函数．(3)对任意的，设，则，则由已知，∴．∴在R上是增函数．【点评】(1)对于抽象函数问题，常用赋值法进行求值，并用定义法判断函数的奇偶性、单调性．(2)由对任意实数都成立，易联想到正比例函数，这可给解题带来明确的方向．例2、函数的定义域为，对任意正实数恒有．(1)设为任意两正数，求证：；(2)若当时，有，求证：在上是减函数；(3)已知，解不等式．解：(1)由已知(2)设任意的，则．由(1)及已知得，设即∴在上是减函数．(3)由，得．∴．由(2)在定义域上是减函数，∴原不等式可化为，解得．原不等式解集为．【点评】(1)解抽象函数不等式

3、问题，常利用函数的单调性把函数符号“f”去掉，化为普通不等式进行求解，同时应注意函数的定义域．(2)由对任意正数都成立，可联想对数函数．例3、设函数是实数集R上的增函数，令．(1)求证：在R上是增函数；(2)若，求证：．证明：(1)任取，且，则．∵在R上是增函数，∴即．∴，即，∴在R上是增函数．(2)∵，∴．由于，∴又∵在R上是增函数，∴，∴．练一练：1、已知函数对任意，都有，且当时，，．(1)判断并证明在R上的单调性；(2)求在[-3，3]上的最大值、最小值．2、定义在R上的偶函数满足．已知在[1，2]上是增函数，讨论它在[-1，0]上的单调性．3、已知定

4、义域为[0，1]的函数同时满足以下三条性质：①对任意的，总有；②；③若，则有成立．(1)求的值；(2)函数在区间[0，1]上是否同时满足①②③？并予以证明；(3)假设存在，使得且，求证．答案：1、(1)是R上的减函数；(2)在[-3，3]上的最大值是，最小值是．2、∵，用1+x代换x，得，又是偶函数，∴．设，则，∵在[1，2]上是增函数，∴，即，∴在[-1，0]上是增函数．3、(1)令，由③得，由①，∴．(2)显然在区间[0，1]上满足①，②．若，则，∴在区间[0，1]上满足③．综上，在区间[0，1]上同时满足①②③．(3)由③知，对任意，有，∴，即．若，则

5、，前后矛盾；若，则，前后矛盾．∴．