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时间:2018-05-04
《高中解决抽象函数问题的常用方法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、解决抽象函数问题的常用方法一、赋值法观察与分析抽象函数问题中的已知与未知的关系,巧妙地对一般变量赋予特殊值,或把函数赋予特殊函数等,从而达到解决问题的目的,这是常用的方法1、赋特殊值例1.设函数,对任意实数、满足。(1)求证:;(2)求证:为偶函数;(3)已知在上为增函数,解不等式。证明:(1)令,得,故;令,得,故。(2)令,得;令,得,所以,即为偶函数。(3),即,或,由(2)和在上为增函数,可得,解得且。2、赋特殊函数例2.对于任意的函数,在同一个直角坐标系中,函数与函数的图像恒()(A)关
2、于x轴对称(B)关于直线对称(C)关于直线对称(D)关于y轴对称解:取函数,则,这两个函数是同一个函数,它们的对称轴为,故选(B)。二、递推法根据题目中所给出的或推出的函数方程,运用递推的思想,逐步递推,达到目的。例3.已知是定义在R上的函数,,且对于任意都有,若________。解:由,和,从而由题设有,。故。即,所以是以1为周期的周期函数。又,所以。三、换元法根据题目结构特点及欲证的结论,将题中的某些量替换成所需的量(注意:应使函数的定义域不发生改变,有时还需要作几次相应的替换),得到一个或几
3、个方程,然后设法从中求其解。例4.若函数的定义域为,求函数的定义域。解:设,因为的定义域为,所以,则的定义域是。又令得即的定义域是。四、比较,转化法有些抽象函数与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质联系密切,求解这类问题应充分理解题意,综合运用函数知识和函数思想,将其转化到熟悉的问题中来。例5.已知定义在R上的函数满足:(1)对于任意都有;(2)当时,,且。求在上的最大值和最小值。解:任取,由条件(1)得,所以,因为,由条件(2)得,所以,所以在上单调递减。在(1)中令,得,所以,再令,得,所以,从
4、而为奇函数,因此,上的最大值为,最小值为。例6.设函数的定义域为R,对于任意实数m、n,总有,且。(1)求的值;(2)判断在R上的单调性,并证明你的结论;(3)设,,a、b、c,a、b不同时为零,若,确定实数a、b、c三者之间的关系。分析:根据所给条件,易联想到符合题设的指数函数,从而问题(1)、(2)的求解方向就十分明确了,当然这只是猜测,还需要严格证明。解:(1)因为对于任意实数m、n总有,所以令,得,又时,,故,从而有。(2)首先注意到,当时,,从而,设,则,即,故是R上单调递减函数。(3)
5、由,知,从而,它表示单位圆的内部;由,知;而,故直线和圆的内部没有公共点,即直线和圆相切或相离,从而有
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