掌握抽象函数问题的常用处理方法

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1、掌握抽象函数问题的常用处理方法一、理论提示抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对干函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题n有增多和分量加重的趋势.二、精典例题1.函数原型法例1:给出四个函数，分别满记①f(x+y)=f(x)+f(y)②g(x+y)=g(x)g(y)@h(xy)=h(x)+h(y)④t(xy)=t(x)t(y),又给出四个函数阁象/y。广X7乙正确的匹配方案是()(A)①一丁②一乙③一丙

2、④一甲(B)①一乙②一丙③一甲④一丁(C)①一丙②一甲③一乙④一丁(D)①一丁②一甲③一乙④一两我们知道，抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数f(x)=kx(k^O),f(xj=kxi,f(x2)=kx2.f(Xi+x2)=k(x!+x2)=kxi+kx2=f(xj+f(x2)可抽象为f(x+y)=f(x)+f(y)o因此，我们可得知如下结论：(1)抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数正比例函数f(x)=kx抽象而成的。⑵抽象函数f(xy)=f(x)f(y)吋由一个特殊函数禄函数f(x)=x°抽象而成的。⑶抽象函数f(x+y)=f

3、(x)f(y)可由一个特殊函数指数函数f(x)(a〉0，且a*1)抽象而成的。⑷抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数对数函数f(x)=logax(a〉0,且a*1)抽象而成的。(5)抽象函数f(x+y)=+可由一个特殊函数正切函数f(x)=tanx抽象而成的。根据上述分析，町知应选D。2.代数演绎法例2:设定义在R上的函数f(x)对r任意x，y都冇f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且f(l)=_2，当x〉0时，f(x)<0。⑴判断f(x)的奇偶性，并加以证明；⑵试问：当-2003

4、明理由；⑶解关于x的不等式丄f(bx2)-f(x)>-f(b2x)-f(b),其中b2彡2.22解：(1)令x=y=0,可得f⑹=0令y:-x,则f(0)=f(—x)+f(x),Af(-x)=-f(x),/.f(x)为奇函数⑵设一y=—Xi,x=x2则f(x2—Xi)=f(x2)+f(—x,)=f(x2)—f(x,),因力x〉0时，f(x)<0，故f(x2—Xi)<0，即f(x2)—f(xj<0。•••f(x2)

5、=-[f(2002)+f(1)]=—[f(2001)+f(l)+f(l)]=•••=—2003f(1)=4006。x=2003吋，f(x)有最小值为f(2003)=—4006。(3)由原不等式,得丄[f(bx2)—f(b2x)]〉f(x)一f⑹。2即f(bx2)+f(—b2x)〉2[f(x)+f(一b)]•••f(bx2—b2x)〉2f(x—b)即f[bx(x—b)]〉f(x—b)+f(x—b)•••f[bx(x—b)]〉f[2f(x—b)]由f(x)在xGR上单调递减，所以bx(x—b)<2(x—b)•••(x—b)(bx—2)<0•••b2彡2,...b彡人或b彡

6、一W①当时，b〉丢，不等式的解集为{x

7、丢②当b<—▲时，b<

8、,不等式的解集为或x〉

9、}③当b=-V^时，不等式的解集为且xe/?}当时，不等式解集为小评注：木题综合考杳函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若f(X)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是奇函数。这一•命题在解决问题屮起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在奇偶性：(1)若函数y=f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是奇函数(2)若函数y=f(x).Sf(x)+f(y)=f(^^),则f(x)是奇函数1+Ay(4)若函数y=f(x)满足f(x+y)+f(

10、x-y)=2f(x)f(y),f(x)关0,贝ljf(x)是偶函数。例3:已知函数y=f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)I、求证：f(4~x)=f(x),f(14-x)=f(x)；II、试问y=f(x)是否为周期函数，若不是，说明理由；若是，求出它的一个周期；III、已知xg[2,7]时，f(x)=x2,求当xg[16,20]时，函数y=f(x)的表达式，并求此吋f(x)的最大值和最小值。I、证明：•••f(4-x)=f[(2-%)+2]=f[2-(2-x)]=f(x)f(14-x)=f[