掌握抽象函数问题的常用处理方法.doc

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1、掌握抽象函数问题的常用处理方法一、理论提示抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．二、精典例题１．函数原型法例1：给出四个函数，分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y)②g(x+y)=g(x)g(y)③h(xy)=h(x)+h(y)④t(xy)=t(x)t(y)，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（）（A

2、）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁（C）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙我们知道，抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数f(x)=kx(k0),f(x1)=kx1，f(x2)=kx2,f(x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2)可抽象为f(x+y)=f(x)+f(y)。因此，我们可得知如下结论：⑴抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数正比例函数f(x)=kx抽象而成的。⑵抽象函数f(xy)=f(x)f(y)可由一个特殊函数幂函

3、数f(x)=xα抽象而成的。⑶抽象函数f(x+y)=f(x)f(y)可由一个特殊函数指数函数f(x)=ax(a＞0，且a1)抽象而成的。⑷抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数对数函数f(x)=logax(a＞0，且a1)抽象而成的。（5）抽象函数f(x+y)=可由一个特殊函数正切函数f(x)=tanx抽象而成的。根据上述分析，可知应选D。１．代数演绎法例2：设定义在R上的函数f(x)对于任意x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且f(1)=-2，当x＞0时，f(x)＜0。⑴判断f(x)的奇偶性，并加以证明

4、；⑵试问：当-2003≤x≤2003时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；⑶解关于x的不等式f(bx2)-f(x)＞f(b2x)-f(b)，其中b2≥2.解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0，故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。∴f(x2)＜f(x1)、f(x)

5、在区间[－2003、2003]上单调递减∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)=－4006。⑶由原不等式，得[f(bx2)－f(b2x)]＞f(x)－f(b)。即f(bx2)+f(－b2x)＞2[f(x)+f(－b)]∴f(bx2－b2x)＞2f(x－b)即f[bx(x－b)]＞f(x－b)+f(x－b)∴f[bx(x－b)

6、]＞f[2f(x－b)]由f(x)在x∈R上单调递减，所以bx(x－b)＜2(x－b)∴(x－b)(bx－2)＜0∵b2≥2,∴b≥或b≤－①当b＞时，b＞，不等式的解集为②当b＜－时，b＜，不等式的解集为③当b=－时，不等式的解集为当b=时，不等式解集为φ评注：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在奇偶性:（1）若函数y=f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是

7、奇函数（2）若函数y=f(x)满足f(x)+f(y)=f()，则f(x)是奇函数（3）若函数y=f(x)满足f(x+y)=，则f(x)是奇函数（4）若函数y=f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，f(x)≠0，则f(x)是偶函数。例3：已知函数y=f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x)，f(x+7)=f(7-x)Ⅰ、求证：f(4-x)=f(x)，f(14-x)=f(x)；Ⅱ、试问y=f(x)是否为周期函数，若不是，说明理由；若是，求出它的一个周期；Ⅲ、已知x时，f(x)=x2,求当

8、x时，函数y=f(x)的表达式，并求此时f(x)的最大值和最小值。Ⅰ、证明：f(4-x)=f=f=f(x)f(14-x)=f=f=f(x)Ⅱ、解：f(x)=f=f(4-x)=f=f=f(x+10)y=f(x)是周期为10的周期函数Ⅲ、