抽象函数问题求解的常用方法.doc

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1、抽象函数问题求解的常用方法抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．【方法荟萃】1．函数原型法【例1】给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（）（A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁（C）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙分析与解：抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象

2、而成的。如正比例函数可抽象为。因此，我们可得知如下结论：（1）抽象函数可由一个特殊函数正比例函数抽象而成的；（2）抽象函数可由一个特殊函数幂函数抽象而成的；（3）抽象函数可由一个特殊函数指数函数抽象而成的；（4）抽象函数可由一个特殊函数对数函数抽象而成的；（5）抽象函数=可由一个特殊函数正切函数抽象而成的；根据上述分析，可知应选D。2．代数演绎法【例2】设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-2003≤≤2003时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于的不等式，其中.分析与解：

3、⑴令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0，故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。∴f(x2)＜f(x1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－

4、2003f(1)=4006。x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)=－4006。⑶由原不等式，得[f(bx2)－f(b2x)]＞f(x)－f(b)。即f(bx2)+f(－b2x)＞2[f(x)+f(－b)]∴f(bx2－b2x)＞2f(x－b)，即f[bx(x－b)]＞f(x－b)+f(x－b)∴f[bx(x－b)]＞f[2f(x－b)]由f(x)在x∈R上单调递减，所以bx(x－b)＜2(x－b)，∴(x－b)(bx－2)＜0∵b2≥2,∴b≥或b≤－当b＞时，b＞，不等式的解集为当b＜－时，b＜，不等式的解集为当b=－时，不等式的解集为当b=时，不等

5、式解集为φ评注：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若满足，则是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在奇偶性:（1）若函数满足，则是奇函数（2）若函数满足，则是奇函数（3）若函数满足=，则是奇函数（4）若函数满足，，则是偶函数。3．特殊值法【例3】已知定义在上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）判断并证明函数的单调性；（Ⅲ）若函数存在反函数，求证：．分析与解：（Ⅰ）在中，令，则有．即：．也即：．由于函数的值域为，所以，，所以．（Ⅱ）

6、函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（＊）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得．所以，函数为奇函数．故（＊）式成立．所以，．任取，且，则，故且．所以，，所以，函数在R上单调递减．（Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，．为了证明本题，需要考虑的关系式．在（＊）式的两端，同时用作用，得：，令，则，则上式可改写为：．不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）．这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们

7、以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．事实上，由于，所以，．所以，点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值．【专项练习】1．（2005年广东省高考试题）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．2．（2002北京高考题）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若，求数列的前项的和．3．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．（1）试

8、求的值；（