抽象函数问题地求解策略.doc

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1、抽象函数问题的求解策略函数是每年高考的热点，而抽象函数问题又是函数的难点之一。抽象函数通常是指没有给出具体函数的解析式，只给出了其他一些条件（如函数的定义域、特定点的函数值、解析递推式、特定的运算性质、部分图象特征等）的函数。由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解、研究起来往往比较困难。但因为这类问题对于培养学生的创新实践能力，增强应用数学意识有着十分重要的作用，所以在近几年成为数学命题的生长点。对于抽象函数问题，一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。因为问题本身的抽象性和性质的隐蔽性，可以利用特殊模型法

2、、函数性质法、特殊化方法、类比联想转化法等从多层面、多角度去分析、研究抽象函数问题。一、特殊模型法根据抽象函数的性质，找出一个对应的具体函数模型，再研究它的其它性质。在高中数学中，常见抽象函数所对应的具体特殊函数模型归纳如下：抽象函数的性质对应特殊函数模型1、线性函数型抽象函数f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）例1：已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。解：设，则，∵当时，，∴，∵，∴，即，∴为增函数在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则，∴，故，为奇函数，∴　，又，∴的值

3、域为［－4，2］。2、二次函数型抽象函数————二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数若抽象函数满足，总有，则可用二次函数为模型引出解题思路；例2：已知实数集上的函数恒满足,方程=0有5个实根,则这5个根之和=_____________【分析】：因为实数集上的函数恒满足,方程=0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数为模型引出解题思路，即函数的对称轴是，并且函数在，其余的四个实数根关于对称，解：因为实数集上的函数恒满足,方程=0有5个实根，所以函数关于直线对称，所以方程的五个实数根也关于直线对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线两侧，关于直

4、线对称，则这5个根之和为103、指数函数型的抽象函数f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝例3：设f(x)是定义在R上的偶函数。其图象关于直线y＝x对称，对任意x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a＞0．(Ⅰ)求及；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；(Ⅲ)记，求．(Ⅰ)解：可以考虑指数函数的模型指导解题的思路，例如运用函数由知：≥0，x∈[0，1]∵，f(1)＝a＞0，∴∵，∴(Ⅱ)证明：依题设y＝f(x)关于直线x＝1对称，故f(x)＝f(1＋1－x)，即f(x)＝f(2－x

5、)，x∈R又由f(x)是偶函数知f(－x)＝f(x)，x∈R将上式中－x以x代换，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f(x)＞0，x∈[0，1]∴∵f(x)的一个周期是2，∴，因此∴．例4．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定的取值围．（4）试举出一个满足条件的函数．解：（1）在中，令．得：．因为，所以，．（2）要判断的单调性，可任取，且设．在已知条件中，若取，则已知条件可化为：．由于，所以．为比较的大小，只需考虑

6、的正负即可．在中，令，，则得．∵时，，∴当时，．又，所以，综上，可知，对于任意，均有．∴．∴函数在R上单调递减．（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子．，即．由，所以，直线与圆面无公共点．所以，．解得：．（4）如．点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数4、对数函数型的抽象函数f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）例5：已知函数满足定义域在上的函数，对于任意的，都有

7、，当且仅当时，成立，（1）设，求证；（2）设，若，试比较与的大小；（3）解关于的不等式分析：本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的基本性质解题证明：（1）∵，∴，∴（2）∵，∴，即∵当且仅当时，成立，∴当时，，∴，（3）令代入得，，∴关于的不等式为，由（2）可知函数在定义域上是减函数，∴，由得，当时，，此时成立；当时，，此时成立；当，，此时成立。例6：已知函数对一切实数ِ、满足，,且当时，，则当时的取值围是__________。　　　　　　　　分析：构造特殊函数，显然满足，且时，；解：令，因当时，，故，由指数函数图像得，当时有。【评注】借助特殊函