抽象函数问题的求解策略探究

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1、抽象函数问题的求解策略探究湖南省黄爱民赵长春函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用乂是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，乂能综介考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睞，在近儿年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。一、具体模型策略例].已

2、知函数f(x)对一切实数X.、y满足f(O)HO,f(x+y)=f(x)(y),且当xVO时,f(x)>1,则当x>0时f(x)的取值范围是o解析：令f(x)=a(0

3、推flif(2006),显然1-/W比较繁锁，若将(*)式与tan(%+-)=1+tanx进行类比，则结构形式类似，而y=tanx41一tanxJT的周期为gx「于是便产生-个念头：f(x)也有可能是周期函数，周期为4X2之V/(%+4)=/[(%+2)+2]=1+/(兀+2)l-.f(x+2)♦1+/(X)11+/(兀)1-/W•••/(x+8)=/[(兀+4)+4]=——卜=/(x)"7w于是猜想成立。Af(2006)=f(8X250+6)=f(6)=f(-2+8)=-/(-2)=1-^3.从而应选B。评析：由于抽象函数的结论对任何满足

4、条件的具体函数都成立，因而可以通过考察一些具体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数的一些性质探索出抽彖函数的解题思路。三、运用函数性质策略例3・定义在/?上的单调函数y=/(x)满足/(3)=10色3,且对任意的兀、yeR都有/(x+y)=/(x)+/(y)(1)求证：/(x)为奇函数(2)若/(k3A)+f(y-9x-2)<0对任意xeR恒成立，求实数k的取值范围。解：令x=y=Ot代入/(x+y)=/(x)+/(y)得：/(0)=2/(0)/./(0)=0令y=-x代入上式得：f(x-x)=/(x)+/(-%),又/

5、(0)=0・・.0=f(x)+/(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xeR成立，・・・/(兀)是奇函数(2)/(3)=log23>0,乂/(x)在R上单调且/(0)=0，/⑶>/(0),故f(x)是R上的增函数,又由(1)知.f(x)为奇函数7•:f(ky)<-f(3x-9x-2)=f(-y+9X+2)，・・.ky<-3X+9V+2,即k<-l+r+—=h(x)y恒成立,只需k

6、如此.只有充分挖掘和利川题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能峰冋路转，化难为易，常用的解题考法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性冋归已知，④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点，列方程(组)等.四、赋值换元策略例4.是否存在函数f(x)同时满足下列三个条件：(1)/(兀+刃+f(x-y)=2f(x)cosy,(x,ye/?)；(2)f(0)=a(a为常数)；TT(3)f(-)=b(h为常数)？若存在，求/(x)的表达式；若不存在，请说明理由。分析：条件(1)中x、y的任意性，隐含着兀、y既可“换元”

7、，又可“赋值”，结合条件(2)和(3),可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。令兀=0,y=f,得/(r)+/(-r)=2acost①7T7T令%=-+y=-.得/(^+r)+/(0=0②TTTT令x=y,y=t+得/(%+"+/(—f)=—2bsinr③将①+②-③得f(x)=acost+bsint,故存在f(x)=acost+bsint符合题意。评析：对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。方程观点是处理数学问题的一个基本观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程(组)，化两数问题为

8、方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。如(1)在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，将X换成-X或将X换成丄筹;X(2)在求函数值时，可用特殊值(如0或1或一1