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1、用导数求解抽象函数中的参数问题2O数学篇《数理化解题研究》2量I卑间(1,型上是减函数,所以函数)的值域为rn—l(1,mr/,一m+1).练习.1.(2007年高考全国卷Ⅱ)已知D是AB边上一点,=2蔚,商皇+商,则=()A.B.÷c.一÷D.一手2.如图2,点P,0分别在AABC的AC,BC边上,且PQ过/XABC的重心G,CP.=r,c=CB-.---.k,试__._.''_十证:上+上:3.答案1.解法1由=2蔚,知,D,B三点共皱.又因为商=÷葫+商,所以÷+=1,所以=了2.故选A.解法2由:2赢,知点D分有向线段所成的比A_2'所以::TC—a菇所以:寻故选A.2.cc
2、并延长,交AB于,则:至2耍由已知可知----'k=(o<r≤1)--~=1.(o<s≤1)'==÷(+商)-_≮专c---Q--.),.因为尸,c,Q三点共线.所以+1=l.即+—1—:3.S尉导数求解抽象函数中的参数问甘肃省高台县第一中学(734300)郭惠英●抽象函数最值,单调性,不等式问题牵涉知识点多,能够使各模块知识相互渗透,相互为用.而导数是研究抽象函数的一个基本工具.抽象函数中的参数求解问题给学生提出了很高的要求,成了学生认知难点.认真分析这类问题的特点,总结解题技巧,就能深化思维,形成创新思维.…,利用函数的单调性搭建联系平台例1设):一竺一alnx(n∈
3、R),再(1)若=1是函数)的极大值点,求a的取值范围;(2)当口仨(一∞,1+][1+e,+..)时,C1若在色[÷,e]上至少存在一点.,使厂(.)>e—I成立,求.的取值范围.解析厂():二±(二)一2一O..a一1a=1+——-一——'l二(>当口一】≤0且pa≤1时,(O,1)l(1.+∞)f()O+,()递减极小值递增当0<a一1<1即1<a<2时,(O.a一1)口一1(a一1,1)1(1,+∞),()+OO+,()递增极大值递减极小值递增当a一1=1即a=2时,《数理化解题研究)2ol1年第5期数学篇21(0.1)1(1,+∞)f()
4、+0+,()递增非极值递增当0—1>1即n>2时,(0,1)l(1,n一1)a一1(Ⅱ一1,+∞)f()+O0,()递增极大俩递减极小他递增综上所述,当0—1>1,即0>2时,=1是函数,()的极大值点.(2)在∈[亡,e]上至少存在一点.,使)>e一1成立,等价于当∈[÷,e]时)>e—1.由(1)知,①当.≤l+,即一1≤时,函数)在[÷,1]上递减,在[1,e]上递增?所以)=max{÷e)}.由厂(÷)=÷一(口一1)e+a>e一1,解得.<e2一e'由e)=e一璺一0>e—l,解得Ⅱ<1.因为÷<1,所以0&
5、lt;1.②当a≥1+e,即0～1≥e时,函数)在[,1]上递增,在[1,e]上递减,/).=/<1)=2一口≤1一e<e一1.综上所述,当口<1时,在∈[,e]上至少存在一点.,使.)>e一1成立.点评掌握函数的基本知识是解题的基础,利用导函数判断函数的极值与单调区间是解题的关键,综合应用知识就能突破认知障碍.二,通过构造新函数求导显现参数特点侈42已知函数/<)=一+0+6(口,b∈R)的一个极值点为=1,方程0++b=0的两个实根为,(<卢),函数)在区间[,卢]上是单调的.(1)求0的值和b的取值范围;(2)若,∈[,JB],证明:l,()
6、一厂()I≤1.解析(1)求得()=3x一2x+0.因为,()的一个极值点为=1,所以f(1)=3X1一2X1+n=0,得口=一1.所以厂()=3x一2一1:(3+1)(一1).当<一÷时()>0;当一÷<<1时,,()<0;当>1时()>0.所以厂()在(一o.,一÷]上单调递增,在[一下1,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.因为方程口++b=0,即一一b=0的两根为,(<卢),所以+=1,=一6,一卢=一I一I=一√(+)一4=一,/1+46.,'..'..'...'....'='■'.'.一?.?_-.--.?_一因为函数
7、厂()在区间[,]上单调的,所以区间[,卢]只能是区间(一∞,一寺],[一可1,1],[1,+∞)之一的子区间.由于+=1,<,故[,][一÷,1].若<0,则+<1,与+IB=1矛盾,所以[,卢][0,1].所以方程一一b=0的两根,都在区间[0,1]上.令g()=一一b,g()图象的对称轴为=÷∈[0,1],,g(0)=一6≥0,则{g(1)=一b≥0,解得一1<6≤0.【△=l+4b>0.所以实数6的取值范围为(一÷,0
