抽象函数问题的求解策略

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1、抽象函数问题的求解策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。抽象函数一般是给出一个函数方程（或不等式）及一些特殊值的函数值，考察函数的常见性质，如单调性、奇偶性、最值等性质，或解不等式、求函数值等。在新课程标准下，抽象函数的要求降低了很多，教师若能通过对抽象函数问题的训练，对提升学生的数学思维能力、提高学生的逻辑思维能力，及对函数概念内涵的挖掘都有很大帮助。笔者就在教学中常见的抽象函数问题做了简要总结。　　一抽象函数定义问题　　例1，（1）已知函数f（x）的定义域为［0，1］，求函数f（2x＋1）的定义域；（2）已知函

2、数f（2x＋1）的定义域为［0，1］，求函数f（x）的定义域。　　分析：此类问题一是要理解函数的概念，尤其是对符号“f”的理解，“f”是一种对应关系，它作用于其后所跟字母表达式整体，其后所跟字母表达式整体的对应关系一样，整体范围也一样。二是定义域的含义，是指其中变量x的取值集合。　　解：（1）∵f（x）的定义域为［0，1］。　　∴0≤2x＋1≤1。　　解得－≤x≤0。　　∴f（2x＋1）的定义域为［－，0］。　　（2）∵f（2x＋1）的定义域为［0，1］。　　∴0≤x≤1，∴1≤2x＋1≤3。　　∴f（x）的定义域为［1，3］。　　二抽象函数性质问题　　例2，已知函数

3、f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1并且当x＞0时，f（x）＞1。　　（1）求证函数f（x）是R上的增函数；　　（2）若f（4）＝5，解不等式f（3m2－m－2）＜3。　　分析：对抽象函数的单调性的证明，因其没有具体表达式，故只能用单调性的定义进行证明。对抽象函数不等式问题，应利用函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为具体的不等式进行求解。　　解：（1）证明：设－∞＜x1＜x2＜＋∞。　　则f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）　　＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1　　∵x2－x1＞

4、0，∴f（x2－x1）＞1。　　∴f（x2－x1）－1＞0，f（x2）－f（x1）＞0。　　∴f（x2）＞f（x1）。　　∴函数f（x）是R上的增函数。　　（2）∵f（4）＝5。　　∴f（4）＝f（2＋2）＝f（2）＋f（2）－1＝2f（2）－1＝5。　　∴f（2）＝3。　　∴原不等式f（3m2－m－2）＜3，即f（3m2－m－2）＜f（2）。　　又∵函数f（x）是R上的增函数。　　∴3m2－m－2＜2，即3m2－m－4＜0，解得－1＜m＜。　　∴原不等式的解集为（－1，）。　　例3，已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）。　　（1）求

5、证：函数f（x）是奇函数；　　（2）如果x∈（0，＋∞）时，f（x）＜0，并且f（1）＝　　－，试求f（x）在区间［－2，6］上的最值。　　分析：抽象函数奇偶性的证明就是用奇偶性的定义证明，最值可通过单调性转化为求值问题，而抽象函数的求值问题可利用赋值法求解。　　解：（1）证明：函数定义域为R，其定义域关于原点对称。　　∵f（x＋y）＝f（x）＋f（y），令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），得f（0）＝0。　　令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）。　　∴f（x）＋f（－x）＝0，∴f（－x）＝－f（x）。　　∴f（x）为奇函数。　　（2）解：设－∞＜

6、x1＜x2＜＋∞。　　f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－f（x1）＝f（x2－x1）。　　∵x2－x1＞0，∴f（x2）－f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1）。　　∴f（x）在R上单调递减。　　∴f（x）在区间［－2，6］上的最大值为f（－2），最小值为f（6）。　　∵f（1）＝－，∴f（－2）＝－f（2）＝－2f（1）＝1，　　f（6）＝6，f（1）＝－3。　　∴f（x）在区间［－2，6］上的最大值为1，最小值为－3。　　三抽象函数解析式问题　　例4，已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x＋y）－f（y

7、）＝x（x＋2y＋1）成立，且f（1）＝0，求解解析式。　　分析：抽象函数的解析式问题一般用赋值法求解。　　解：∵函数f（x）对一切实数x，y均有f（x＋y）－f（y）＝x（x＋2y＋1）成立，且f（1）＝0，令x＝1，y＝0，得f（1）－f（0）＝2，∴f（0）＝f（1）－2＝－2。　　在f（x＋y）－f（y）＝x（x＋2y＋1）中再令y＝1得，f（x）－f（0）＝x（x＋1）。　　∴f（x）＝f（0）＋x（x＋1）＝x2＋x－2。　　∴f（x）＝x2＋x－2。　　通过对以上几个例题的分析，可以看出对不同类型的抽象函数问题，应用不同的求解策略，常用