【高中数学】抽象函数问题的求解策略

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1、抽象函数问题的求解策略函数是每年高考的热点，而抽象函数问题又是函数的难点之一。抽象函数通常是指没有给岀具体函数的解析式，只给出了其他一些条件(如函数的定义域、特定点的函数值、解析递推式、特定的运算性质、部分图彖特征等)的函数。由于抽彖函数没有具体的解析式作为载体，因此理解、研究起来往往比较困难。但因为这类问题对于培养学生的创新实践能力，增强应用数学意识有着十分重要的作用，所以在近儿年成为数学命题的牛长点。对于抽象函数问题，一•般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图彖的对称性，或是求函数值、解析式等。因为问题本身的抽象性和性质的

2、隐蔽性，可以利用特殊模型法、两数性质法、特殊化方法、类比联想转化法等从多层面、多角度去分析、研究抽象函数问题。一、特殊模型法根据抽彖函数的性质，找出一个对应的具体函数模型，再研究它的其它性质。在高中数学屮，常见抽象两数所对应的具体特殊两数模型归纳如下：抽象函数f(x)的性质对应特殊函数模型/O]+x2)=/(x1)+/(x2)f(x)=kx(k工0)心+兀2)=心)・/(兀2)f(x)=ax(a>0.^a^i)/*(兀1^2)=/(Xl)+/(X2)f(x)=log"x(a>0且gHl)/(州讥2)=/(兀1)・/(兀2)f(x)=xa(a为

3、常数)/(心2)=心""I1-•心)止)/(x)=tanx则这5个根之和二【分析】：因为实数集上的函数/(对恒满足/(2+x)=/(2-x),方程f(x)=O有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数y=k(x-2)2为模型引岀解题思路，即函数的对称轴是x=2,并且函数在/(2)=0,其余的四个实数根关于x=2对称，解：因为实数集上的函数/(%)恒满足/(2+%)=/(2-x),方程/(x)=0有5个实根,所以函数关于直线x=2对称，所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称，其中有一个实数根为2,其它四个实数根位于直线x=2两侧，关于宜线x

4、=2对称，则这5个根之和为103、指数函数型的抽象函数f(x+j)=/(x)f(j)；f(x-j)=供/(y)例3：设f(0是定义在&上的偶函数庶图象关于直线尸丸对称，对任意小总“0.*],都有f(上+捡)5)・f(上)，且f(1)=^>0.(I)求/(当)及Aj)：(II)证明f(方是周期函数；(III)记an=f(2n+亠),求lim(lnan).Znmtoo(I)解：可以考虑指数函数的模型指导解题的思路，例如运用函数f(x)=2XllI/(")+/U2)=/Ul)/U2),X),x2G[0,y]知:4)=/(

5、)/(4)=［/(

6、)］2

7、,f(1)=臼>0,・・・/(*)=。空/(x)=/(y)/(y)^0,圧［0,1］J/(I)=/(y+J/(y)=/(j+»兀扣G)=［冷)F，•:冷)=/(］【)证明：依题设y=f(%)关于直线x=l对称，故f(^)=f(1+1—,即f(^r)=f(2—,x^R乂IIIf«是偶函数知fj=f3,xWR将上式屮一/以/代换，得f(x)=f(%+2),xWR这表明f(%)是斤上的周期函数，且2是它的一个周期.(III)解：由(I)知fU)>0,圧［0,1］•••居)=他•寺)=哙+(H-1)•知=哙弘-1)知(一2)寺K知/(知…碍沪［/&)

8、「1丄・•・/(〒)=□2n1•・・f(X)的一个周期是2，・・・/(2斤+寺)=/(寺)，因此an=a^・；lim(lnan)=Ina)=0.“Toon—>0时,0

9、f(x2)-/(y2)>/(l)},B={fx,y)f(ax-+V2)=1,«g若AoB=0，试确定d的取值范围.(3)试举出一个满足条件的函数/(%).解：(1)在

10、f(m+n)=f(m)-f(n)中，令m=l,n=O.得:/(1)=/(1)./(0).因为几1)工0,所以,/(0)=1.(2)要判断门兀)的单调性,可任取x}9x2eRf且设州v兀2•在已知条件/(加+n)=f(m)-f(n)中，若取m+n=x2,m=xx,则己知条件可化为:/(兀2)=/(兀1)・/(兀2-兀1)由于X2-Xl>0,所以1〉/02-歼)〉0・为比较/(%2),/(%!)的大小,只需考虑/(可)的正负即可.在/(m+n)=中，令m=xfn=-x,则得/(%)•f(-x)=1.x〉O时，0

11、(x)=—5—>1>0../(-兀)X/(0)=l,所以，综上，可知，对于任意x,e/?,均有/(x1)>0.・•・/(勺)~f(xi)=/(E)[/(兀2-坷)=