利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围.doc

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1、利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题（1）恒成立问题求参数范围：例1已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；练习1.设函数在及时取得极值（1）求a,b的值,(2)若对于任意的［0,3］都有成立,求c的取值范围答案：1.解:(1)a=-3,b=4(2)9+8c9（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。例2.已知函数(1)时，求函数的单调区间和极值，(2)若函数在［1，4］是减函数，求实数的取值范围解得：(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是（，极小值是（2）由得依题意所以即又在［1，4］上是减函数，故（4）min=所以练习1.已知（1）若对任意的恒成立，

2、求实数的取值范围。（2）求证：解：（1）-8-(2)构造函数且则由（1）知当a=-1时，故h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)

3、有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．例4.设函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。解(1)若则列表如下+0--单调增极大值单调减单调减(2)在两边取对数,得,由于所以-8-(1)由(1)的结果可知,当时,,为使(1)式对所有成立,当且仅当,即练习1已知函

4、数（1）当a=1时，求在区间的最大值和最小值；（2）若在区间（1，）上，函数的图像恒在直线下方，求a的取值范围。2.已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(I)求函数的单调区间;（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.3.设函数证明：当x>0时，参考答案:1.解：1.2.令函数的图像恒在直线下方，等价于在区间上恒成立。令得（1）。若时，在区间上是增函数，在减函数，并且在区间上有，不合题意；（2）.当时，g(x)在区间上也是增函数，也不合题意；（3）.若，则有2a-1,此时在区间上是减函数，要使-8-在此区间上恒成立，只需有此求得a的范围是.2.解:（Ⅰ）

5、函数的定义域是，设则令则当时，在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x＞0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，设则由（Ⅰ）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为（4）恒成立问题求参数范围—不等式放缩法例5.设函数(1)若a=0,求的单调区间。（2）若当时，，求a的取值范围。-8-解：（1）在（单调递减，在单调增加。(2)由

6、（1）知当且仅当x=0时等号成立。故当1-2a0即。由可得从而当时故当而于是不合题意，故例6.设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．练习1.设函数（Ⅰ）当曲线处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的-8-，恒成立，求m的取值范围。2.已知函数（），其中．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．参考答案1.（1解：当所以曲线处的切线斜率为1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如

7、下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设，所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意-8-若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得w.w.w.k.综上，m的取值范围是2.（Ⅰ）解：．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：02－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ）解：，显然不