利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围.doc

利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围.doc

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1、利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题(1)恒成立问题求参数范围:例1已知函数.(Ⅰ)若,求的取值范围;练习1.设函数在及时取得极值(1)求a,b的值,(2)若对于任意的[0,3]都有成立,求c的取值范围答案:1.解:(1)a=-3,b=4(2)9+8c9(2)恒成立问题求参数范围:分离参数法。例2.已知函数(1)时,求函数的单调区间和极值,(2)若函数在[1,4]是减函数,求实数的取值范围解得:(1)函数的单调递减区间是,单调递增区间是(,极小值是(2)由得依题意所以即又在[1,4]上是减函数,故(4)min=所以练习1.已知(1)若对任意的恒成立,

2、求实数的取值范围。(2)求证:解:(1)-8-(2)构造函数且则由(1)知当a=-1时,故h(x)在(0,1)上单调递减,h(x)

3、有g(x)≥g(0),即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax.(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.综上,a的取值范围是(-∞,1].例4.设函数(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)已知对任意成立,求实数的取值范围。解(1)若则列表如下+0--单调增极大值单调减单调减(2)在两边取对数,得,由于所以-8-(1)由(1)的结果可知,当时,,为使(1)式对所有成立,当且仅当,即练习1已知函

4、数(1)当a=1时,求在区间的最大值和最小值;(2)若在区间(1,)上,函数的图像恒在直线下方,求a的取值范围。2.已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(I)求函数的单调区间;(Ⅱ)若不等式对任意的都成立(其中e是自然对数的底数).求的最大值.3.设函数证明:当x>0时,参考答案:1.解:1.2.令函数的图像恒在直线下方,等价于在区间上恒成立。令得(1)。若时,在区间上是增函数,在减函数,并且在区间上有,不合题意;(2).当时,g(x)在区间上也是增函数,也不合题意;(3).若,则有2a-1,此时在区间上是减函数,要使-8-在此区间上恒成立,只需有此求得a的范围是.2.解:(Ⅰ)

5、函数的定义域是,设则令则当时,在(-1,0)上为增函数,当x>0时,在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0,所以,函数g(x)在上为减函数.于是当时,当x>0时,所以,当时,在(-1,0)上为增函数.当x>0时,在上为减函数.故函数的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为.(Ⅱ)不等式等价于不等式由知,设则由(Ⅰ)知,即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G(x)在上的最小值为所以a的最大值为(4)恒成立问题求参数范围—不等式放缩法例5.设函数(1)若a=0,求的单调区间。(2)若当时,,求a的取值范围。-8-解:(1)在(单调递减,在单调增加。(2)由

6、(1)知当且仅当x=0时等号成立。故当1-2a0即。由可得从而当时故当而于是不合题意,故例6.设函数.(Ⅰ)证明:当时,;(Ⅱ)设当时,,求a的取值范围.练习1.设函数(Ⅰ)当曲线处的切线斜率(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;(Ⅲ)已知函数有三个互不相同的零点0,,且。若对任意的-8-,恒成立,求m的取值范围。2.已知函数(),其中.(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数仅在处有极值,求的取值范围;(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.参考答案1.(1解:当所以曲线处的切线斜率为1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)解:,令,得到因为当x变化时,的变化情况如

7、下表:+0-0+极小值极大值在和内减函数,在内增函数。函数在处取得极大值,且=函数在处取得极小值,且=(3)解:由题设,所以方程=0由两个相异的实根,故,且,解得因为若,而,不合题意-8-若则对任意的有则又,所以函数在的最小值为0,于是对任意的,恒成立的充要条件是,解得w.w.w.k.综上,m的取值范围是2.(Ⅰ)解:.当时,.令,解得,,.当变化时,,的变化情况如下表:02-0+0-0+↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在,内是增函数,在,内是减函数.(Ⅱ)解:,显然不

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