利用最值求解恒成立不等式中的参数范围-论文.pdf

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1、2014年第9期中学数学研究·39·≥1．单调递增，显然有^()+31nx一证明：由xyz=1，联想到对数函数，不妨假设有1厂()=≥g()=h+1成立，其≥(1)：0在(，+∞)上恒成立，至此，问题解决．中k待定，注意到=Y==1时原不等式等号成1，’立，猜想^()=一埘肼一1满足可见)≥g()一亏眦+÷虽然没有在(0，+∞)上恒成立，但仍可以在一(1)=0，解得=一，整理后^()=个较大的范围(÷，+∞)上恒成立，不恒成立的部'不难发滩(0，)上分单独处理即可．单调递增，在(√，1)上单调递减，在(1，

2、+∞)上评注：一些优美的分式不等式，无理不等式都可以通过构造适当的逼近函数，放缩来加以证明，读者单调递增，h(1)=0，而x-*O时^()一+一∞，因而可尝试着去解决这类问题，这种思想值得我们好好九()≥0g(o，+∞)上并没有恒成立，从而)去体会应用．=≥g()=一-32-lnx+1并没有恒综上，一些不等式的证明问题，我们若能根据它成立，需要作出调整．注意到若≤了11的条件和结论，充分地利用函数的知识实现证明，不，，，≤，≤但可以有效地优化解题的思路，简化解题的过程，而且有利于沟通函数与不等式等数学知识之

3、间的相互丢三者中有一个成立时，则有32+(-1)≤l，联系，增强学生的函数意识，培养学生的数学素养．3)，2+(Y一1)≤1，3Z2+(一1)≤1三者中有一因此，在不等式的教学过程中，应当充分注意函数思个成立，原命题成立；再考虑若，，，，均大于1时，想与函数方法的运用，以有效地提高我们分析问题和解决问题的能力．注意到^(戈)在(1，1)上单调递减，在(1，+∞)上利用最值求解恒成立不等式中的参数范围江苏省如皋高等师范学校(226500)纪宏伟不等式与函数的最值问题有着密切的联系，利例1已知不等式+^口<0对

4、于∈[1，用不等式取等号，就可得到一个最值问题的解，因此有关不等式恒成立的问题，我们通常应用“函数方√]恒成立，求实数口的取值范围．程思想”和“分离变量法”转化为最值问题，下面撷分析：分离口得到a>+2取几例加以说明．，匣成立，，也即1．可分离参数型2的最大值应该小于口+．在所给的不等式中，通过恒等变形分离出参数，即若口≥)恒成立，只须求出)一，则≥解：令)=+，∈[1，√，由于)在)一；若t／,≤)恒成立，只需求出)min，则t／,≤)miⅡ，转化为函数求最值问题．。∈[1，√啊]上单调递减，所以)一=1

5、)=3，·40·中学数学研究2014年第9期即得口>，r)一=3，所以实数口的取值范围是(3，2)．+∞)．评注：有时候对于较复杂的不等关系恒成立的评注：如果口>+三中的“>”改为“≥”，则问题中，虽然可以分离参数写成a≥)或口≤)的形式，但是所构造的函数)的最值求解有结论改为[3，+∞)．一定难度，这时就需要一些技巧和其它方法，乃至多例2已知不等式‘+口石。+(口+3)菇+口+种方法和技巧综合应用，需要一定的代数功夫，本例1>0对一切实数均成立，求实数口的取值范围．即是一个很好的说明．再如：不等式一k+1

6、>等分析：因为从不等式中可以把参数口和变量分离出来，a(x++)>一(+3+1)，其中对任意>0且≠1恒成立，求k的取值范围(见文++=(++1)，故应选择分离参数法求[1])．此题在求譬的最大值时，就需要用到求解，但在处理不等式时，须注意对>0，=0，<0分情况讨论．导的方法，计算比较繁琐，但正如文[1]所述，分离解：对不等式关于口整理，有口(。++)>参数法具有方向明确、过程易控、思路清晰、操作简一(‘+3x+1)①，便等优势，是解决恒成立不等式问题的有力武器．在(1)当=0时，不等式①恒成立，口可取任

7、意利用分离参数法时，可能函数的最值不能轻易求出，实数．这时就需要我们坚定信念，相信自己，不轻易放弃，(2)当>0时，不等式①化为口>综合应用多种方法或手段，相信经过努力后多数问题都能迎刃而解．一，设)=一4-，于是口>+++例3设)：lgL+_，其中口∈R，当)，只要求出)的最大值即可．注意到在>0e(一∞，1]时)恒有意义，求口的取值范围．时，=[-+(+)]+一解：由题意知，当≤1时，恒有L+_>2≥(1+2)+22=5故()一=—5一，，所0，故口>一[(})+(丢)]，令)：一[(÷)+以口>一'5

8、．(÷)]，则只要求出，()的最大值即可．显然)(3)当<0时，不等式①化为口<在(一∞，1]单调递增，所以)～=1)=一÷，一，设)=一，于是口<故口的取值范围是(一÷，+∞)．)，只要求出)的最小值即可．注意到在<0评注：如果条件菇∈(一∞，1]改为‘兰(一∞，时，与(2)思路类似，一=一(1+石+1))无最大值，但由于)是单调递增的连续函数，所以可把区间(一∞，1)扩充为(一∞，1]，即+2一(1++)一+