利用函数的最值求不等式恒成立问题

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1、考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题例3、已知过函数的图象上一点的切线的斜率为－3．（1）求的值；（2）求的取值范围，使不等式对于恒成立；【解析】（1）=依题意得，把代入得（2）令得或要使对于恒成立，则的最大值变式训练1、设函数（Ⅰ）若为的极值点，求实数.（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意恒有成立（注：为自然对数的底数）.【解析】（I）求导得因为是的极值点，所以解得或．经检验，符合题意，所以，或（II）①当时，对于任意的实数，恒有成立，即符合题意②当时即时，由①知，时，不等式恒成立，故下研究函数在上的最大值，首先有此值随着的增大而增大，故

2、应有，即故参数的取值范围是或，且.同步训练1、(2011·荆州质检题)函数对于总有成立，则的取值为(　　)A．[2，＋∞)B．[4，＋∞)C．{4}D．[2,4]【解析】，当时，，，不合题意；当时，，在[－1,1]上为减函数，，，不合题意；当时，且，解得.综上所述，，故选C.答案：C2、设函数在内有定义.对于给定的正数K,定义函数取函数.若对任意的,恒有,则()A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1【解析】因为恒成立，所以K≥时，解得故时，；时所以在上为单调递增函数；在上为单调递减函数。在处取得最大值，即。答

3、案：D3、设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（）A、B、C、D、【解析】可令，则满足条件，验证各个选项，知B、C、D都不恒成立，故选A.4、（2012辽宁文）设，证明：（1）当时，（2）当时，【解析】（1）记，则当时，，又，故，即（2）记，则当时，由（1）得令，因此在内是递减函数，又由，得，所以.所以，在内是递减函数，又，所以于是，当时，.5、（2012辽宁理）设，曲线与直线在点相切.（1）求的值；（2）证明：当时，【解析】（1）由的图像过点，代入得由在处的切线斜率为，又，得（2）（证法一）由均值不等式，当时，，故记，则，令

4、，则当时，因此在内是减函数，又由，得，所以因此在内是减函数，又由，得，于是当时，6、（2012新课标理）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【解析】（1）令得：得：在上单调递增得：的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为（2）得①当时，在上单调递增时，与矛盾②当时，③当时，得：当时，令；则当时，当时，的最大值为7、已知函数，对任意的，恒有。（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意不等式恒成立，求的最小值.【解析】（Ⅰ）∵对任意的，恒有∴即恒成立，∴①∴又，∵∴所以.（Ⅱ）因为，即，因此有不等式恒成立，

5、即，∴②由①式得，则，∴∴③由②③式得，解得，所以的最小值为.8、设函数，（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．【解析】（Ⅰ）由题意的定义域为令，∴，即的单调减函数区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递增则，解得：所以，当时，对恒成立.9、（2012湖北）设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：.【解析】（1）因为，由点在上，可得，即，∵∴又∵切线的斜率为∴故，（2）由（1）知∴令，解得，即在上有唯一零点.在上，故单调递增；而在上，，单调递减.故在上的最大值为.（3）令，则在上，，

6、故单调递减；而在上，，单调递增.∴在上的最小值为.∴，即令，得，即，所以，即.由（2）知，故所证不等式成立.