简论不等式恒成立及函数最值

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1、简论不等式恒成立及函数最值［摘要］不等式的证明历来是高中数学的一大亮点，也是一大难点，证法有很多，本文关注一类函数不等式的证明方法，通过考题来说明这一证法的通用性。［关键词］恒成立函数最值导数［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1009-5349(2012)11-0144-01高中数学中常有这样一类题型：证明某个不等式成立、求含参数不等式在一定条件下成立的参数取值范围。解决这类问题我们常通过构造函数，由函数最值来解决，而导数在其中发挥了重要作用，其实主要解题依据是函数的单调性及下面两个等价转换：即在给定

2、定义域内，恒成立，恒成立。一、用导数容易验证一些常见不等式1.,2.,3.,.二、函数不等式问题常转化为最值来处理问题1：不等式的解集是？提示：此不等式解集要通过多次设函数求导得到，答案是(-1,0)U(0,+8)。问题2：求证：在区间(1,+8)上，函数(为实数)的图像在函数的图像的下方。提示：即求在区间（1,+OO）上的最大值小于0。三、演绎法在不等式证明中的应用问题3：已知，求证：；提示：构造新函数用导数、函数单调性说明。考题回顾1：（2011年全国理22）（1）设函数，证明：当时，；考题回顾2：（2007年山东高

3、考题）设函数，其中.（1）（2）略；（3）证明对任意的正数，不等式都成立.提示：（1）（2）解答略（3）当时，构造函数；验证，这是压轴题常用的出题方式。四、含参数不等式恒成立问题这里主要采用函数最值法和分离参数法来解决，解题其实就是简化的过程，用哪一种方法要根据题目特点来确定，有时两种方法复杂程度还差不多。问题4：已知函数，•若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围。答案：（-a,4].本题可以通过分离参数（参数必须能够分离），使参数和自变量分别独立于不等式的两边，然后通过自变量对应的函数最值（要容易求得）来确定参数的取

4、值范围。考题回顾：(2010年天津文20)已知函数，其中.(1)略；(2)若在区间上，恒成立，求的取值范围。本题(2)的求解采用函数最值法对参数进行分类讨论,找出函数的最小值，思路清晰，想法自然.而要是采用分离参数法来解决也要分类讨论，且过程相当麻烦。问题5：已知函数，.(1)略；(2)设，若在上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围。本题的求解是用函数最值法对参数进行分类讨论，还是用分离参数法来解决过程都不简单，所以这类题型的求解还是比较麻烦的，同时对于学生分类讨论能力、推理论证能力、运算求解能力都有考查，能起到很好

5、的训练效果。从以上举例可以看出，关于导数、函数、不等式等综合问题的考查要求是很高的，但关键在于对问题进行等价转化，由难化简，最终利用我们熟悉的方法解决。这不仅对于学生的训练还是老师的教学都有很好的借鉴意义，总结很重要。【参考文献】[1]郑良.揭开正确答案后的“迷雾”.中学数学教学参考，2011(10),31-33.[1]邱春来恒成立问题”与“有解问题”的区分及解题策略•福建中学数学，2011(10),33_36,[2]单蹲.高中数学选修2-2•第一章导数及其应用•江苏教育出版社，2008.