不等式恒成立在函数最值问题中应用

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1、作者：潘成银简介：中学数学高级教师，学校教师发展处主任单位：江苏省南京市南京民办实验学校通信地址：江苏省南京市凤台南路28号,南京民办实验学校教科室邮编210019联系电话：13905169549信箱：335340517@qq.com不等式恒成立在函数最值问题中的应用江苏南京民办实验学校潘成银不等式恒成立求参数取值范围，是高中数学热点之一，无论是平时考试、高考乃至数学竞赛，几乎卷卷有题，可以说是“无它不成卷”，由于师生们“见多识广”，这类问题的解法也是“家喻户晓，人人皆知”，不等式恒成立解法之一的参数分离法，一般可以避免分类讨论，深受广大师生青睐，如果能把其他问题转化为不等式恒成

2、立问题，则符合“陌生”向“熟知”转化与化归的数学思想，使问题得以解决，以下举例说明不等式恒成立在函数最值方面的应用.结论：在上最大值为，则不等式对恒成立，且能取到等号；在上最小值为，则不等式对恒成立，且能取到等号.1已知函数最值求参数的值例1（2010高考江西卷理19（2））.设函数，若在上的最大值为，求的值.解：因为在上的最大值为，所以不等式对恒，且能取到等号，分离变量得，设，则对恒成立且能取到等号，所以，因为，所以为上的减函数，，.说明：（1）已知函数在上的最值，转化为不等式（或）恒成立，如果不等式能进行参数分离，等价变形为，则；等价变形为，则.（2）若改变条件“”为“”，上

3、述解法不受影响，但若用常规方法，在求函数导数的零点时，要对进行分类讨论，过程繁琐复杂，难度较大，由此显示上述转化法简洁美！例2(2013江苏省盐城市高三二模19（3）)设函数．若在上的最大值为，求的值．解：，因为在上的最大值为，所以不等式对恒成立，取，得①，②，两式相加得，又取得，，所以，把代入①②，分别得，，所以.说明：不等式对恒成立，我们在中选取特殊值代入不等式，可以缩小参数的范围，避免分类讨论，甚至也可以直接得到答案.例3（2011高考江西卷理19（2））设.当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解：因为在上的最小值为，所以不等式对恒成立且能取到等号，分离变量得，设，

4、所以，，因为，所以，在上单调递增，，，，此时，求导研究单调性可知.说明：本题设置条件“”的目的，是为了在选用常规解法时，避免因的值而对函数导数的零点进行分类讨论，从而降低试题的难度，但按上述解法，条件“”完全多余，可以删除.2已知函数最值求参数范围例4（2010全国数学联赛试题）已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.解：设，则，，因为函数最小值为，所以不等式对恒成立且能取到等号，不等式变形为：，当时等号成立；当、时不等号成立；当时，，所以；当时，，所以，综上所述，说明：不等式对恒成立且能取到等号，若当时，，则只需要求当且时，不等式恒成立.